ФИПИ BB421B — Работа и производительность

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+4. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую производительность. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность: $$t=\frac{V}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{192}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{192}{v+4}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 4 ч. $$\frac{192}v-\frac{192}{v+4}=4$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+4). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+4, во второй — на v: $$\frac{192(v+4)-192v}{v(v+4)}=4$$ Раскрываем скобки в числителе: $$192(v+4)-192v=192v+192\cdot4-192v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$192\cdot4=768$$ $$\frac{768}{v(v+4)}=4$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$768=4v(v+4)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 4: $$v(v+4)=v^2+4v$$ $$768=4v^2+4\cdot4v$$ $$4\cdot4=16$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$4 v^{2} + 16 v - 768=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 4. $$v^{2} + 4 v - 192=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=4,\qquad C=-192$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(4)^2=16$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-192)=-768$$ $$D=B^2-4AC=16-(-768)=784$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{784}=28$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(4)+28}{2\cdot(1)}=\frac{24}{2}=12$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(4)-28}{2\cdot(1)}=\frac{-32}{2}=-16$$ Значение $v=-16$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=12$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=12$$ $$v_{\text{быстр}}=12+4=16$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{192}{12}=16$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{192}{16}=12$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=16-12=4$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая производительность, поэтому выбираем 12 деталей/ч. Ответ: $12$ деталей/ч.