ФИПИ 02F1DB — Работа и производительность

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+2. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую производительность. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 2. На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность: $$t=\frac{V}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{323}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{323}{v+2}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 2 ч. $$\frac{323}v-\frac{323}{v+2}=2$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+2). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+2, во второй — на v: $$\frac{323(v+2)-323v}{v(v+2)}=2$$ Раскрываем скобки в числителе: $$323(v+2)-323v=323v+323\cdot2-323v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$323\cdot2=646$$ $$\frac{646}{v(v+2)}=2$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$646=2v(v+2)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 2: $$v(v+2)=v^2+2v$$ $$646=2v^2+2\cdot2v$$ $$2\cdot2=4$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$2 v^{2} + 4 v - 646=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 2. $$v^{2} + 2 v - 323=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=2,\qquad C=-323$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(2)^2=4$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-323)=-1292$$ $$D=B^2-4AC=4-(-1292)=1296$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1296}=36$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)+36}{2\cdot(1)}=\frac{34}{2}=17$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)-36}{2\cdot(1)}=\frac{-38}{2}=-19$$ Значение $v=-19$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=17$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=17$$ $$v_{\text{быстр}}=17+2=19$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{323}{17}=19$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{323}{19}=17$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=19-17=2$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая производительность, поэтому выбираем 19 деталей/ч. Ответ: $19$ деталей/ч.