ФИПИ 071261 — Работа и производительность

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+8. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую производительность. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность: $$t=\frac{V}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{209}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{209}{v+8}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 8 ч. $$\frac{209}v-\frac{209}{v+8}=8$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+8). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+8, во второй — на v: $$\frac{209(v+8)-209v}{v(v+8)}=8$$ Раскрываем скобки в числителе: $$209(v+8)-209v=209v+209\cdot8-209v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$209\cdot8=1672$$ $$\frac{1672}{v(v+8)}=8$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$1672=8v(v+8)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 8: $$v(v+8)=v^2+8v$$ $$1672=8v^2+8\cdot8v$$ $$8\cdot8=64$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$8 v^{2} + 64 v - 1672=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 8. $$v^{2} + 8 v - 209=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=8,\qquad C=-209$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(8)^2=64$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-209)=-836$$ $$D=B^2-4AC=64-(-836)=900$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{900}=30$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(8)+30}{2\cdot(1)}=\frac{22}{2}=11$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(8)-30}{2\cdot(1)}=\frac{-38}{2}=-19$$ Значение $v=-19$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=11$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=11$$ $$v_{\text{быстр}}=11+8=19$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{209}{11}=19$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{209}{19}=11$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=19-11=8$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая производительность, поэтому выбираем 11 деталей/ч. Ответ: $11$ деталей/ч.