Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 672 литра она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба?
Ответ: $28$.
Решение
Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем.
Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+4. Обе величины положительны, поэтому v>0.
Нужно найти большую производительность. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 4.
На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность:
$$t=\frac{V}{v}$$
Для меньшей величины время равно:
$$t_{\text{медл}}=\frac{672}{v}$$
Для большей величины время равно:
$$t_{\text{быстр}}=\frac{672}{v+4}$$
Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение.
Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 4 мин.
$$\frac{672}v-\frac{672}{v+4}=4$$
Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель — произведение v(v+4). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+4, во второй — на v:
$$\frac{672(v+4)-672v}{v(v+4)}=4$$
Раскрываем скобки в числителе:
$$672(v+4)-672v=672v+672\cdot4-672v$$
Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение:
$$672\cdot4=2688$$
$$\frac{2688}{v(v+4)}=4$$
Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него:
$$2688=4v(v+4)$$
Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 4:
$$v(v+4)=v^2+4v$$
$$2688=4v^2+4\cdot4v$$
$$4\cdot4=16$$
Переносим число влево и получаем квадратное уравнение:
$$4 v^{2} + 16 v - 2688=0$$
Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения.
Делим каждый член на ненулевой общий множитель 4.
$$v^{2} + 4 v - 672=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь:
$$A=1,\qquad B=4,\qquad C=-672$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(4)^2=16$$
$$4AC=4\cdot(1)\cdot(-672)=-2688$$
$$D=B^2-4AC=16-(-2688)=2704$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{2704}=52$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(4)+52}{2\cdot(1)}=\frac{48}{2}=24$$
$$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(4)-52}{2\cdot(1)}=\frac{-56}{2}=-28$$
Значение $v=-28$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем.
Значение $v=24$ положительно, поэтому подходит.
Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена.
$$v_{\text{медл}}=24$$
$$v_{\text{быстр}}=24+4=28$$
$$t_{\text{медл}}=\frac{672}{24}=28$$
$$t_{\text{быстр}}=\frac{672}{28}=24$$
$$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=28-24=4$$
Разница совпала с условием. Спрашивается большая производительность, поэтому выбираем 28 л/мин.
Ответ: $28$ л/мин.