Работа и производительность — задание №10 ЕГЭ по математике

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+2. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую производительность. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 2. На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность: $$t=\frac{V}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{323}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{323}{v+2}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 2 ч. $$\frac{323}v-\frac{323}{v+2}=2$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+2). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+2, во второй — на v: $$\frac{323(v+2)-323v}{v(v+2)}=2$$ Раскрываем скобки в числителе: $$323(v+2)-323v=323v+323\cdot2-323v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$323\cdot2=646$$ $$\frac{646}{v(v+2)}=2$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$646=2v(v+2)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 2: $$v(v+2)=v^2+2v$$ $$646=2v^2+2\cdot2v$$ $$2\cdot2=4$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$2 v^{2} + 4 v - 646=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 2. $$v^{2} + 2 v - 323=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=2,\qquad C=-323$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(2)^2=4$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-323)=-1292$$ $$D=B^2-4AC=4-(-1292)=1296$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1296}=36$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)+36}{2\cdot(1)}=\frac{34}{2}=17$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)-36}{2\cdot(1)}=\frac{-38}{2}=-19$$ Значение $v=-19$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=17$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=17$$ $$v_{\text{быстр}}=17+2=19$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{323}{17}=19$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{323}{19}=17$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=19-17=2$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая производительность, поэтому выбираем 19 деталей/ч. Ответ: $19$ деталей/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+8. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую производительность. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность: $$t=\frac{V}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{209}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{209}{v+8}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 8 ч. $$\frac{209}v-\frac{209}{v+8}=8$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+8). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+8, во второй — на v: $$\frac{209(v+8)-209v}{v(v+8)}=8$$ Раскрываем скобки в числителе: $$209(v+8)-209v=209v+209\cdot8-209v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$209\cdot8=1672$$ $$\frac{1672}{v(v+8)}=8$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$1672=8v(v+8)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 8: $$v(v+8)=v^2+8v$$ $$1672=8v^2+8\cdot8v$$ $$8\cdot8=64$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$8 v^{2} + 64 v - 1672=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 8. $$v^{2} + 8 v - 209=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=8,\qquad C=-209$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(8)^2=64$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-209)=-836$$ $$D=B^2-4AC=64-(-836)=900$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{900}=30$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(8)+30}{2\cdot(1)}=\frac{22}{2}=11$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(8)-30}{2\cdot(1)}=\frac{-38}{2}=-19$$ Значение $v=-19$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=11$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=11$$ $$v_{\text{быстр}}=11+8=19$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{209}{11}=19$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{209}{19}=11$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=19-11=8$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая производительность, поэтому выбираем 11 деталей/ч. Ответ: $11$ деталей/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+6. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую производительность. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 6. На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность: $$t=\frac{V}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{112}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{112}{v+6}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 6 мин. $$\frac{112}v-\frac{112}{v+6}=6$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+6). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+6, во второй — на v: $$\frac{112(v+6)-112v}{v(v+6)}=6$$ Раскрываем скобки в числителе: $$112(v+6)-112v=112v+112\cdot6-112v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$112\cdot6=672$$ $$\frac{672}{v(v+6)}=6$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$672=6v(v+6)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 6: $$v(v+6)=v^2+6v$$ $$672=6v^2+6\cdot6v$$ $$6\cdot6=36$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$6 v^{2} + 36 v - 672=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 6. $$v^{2} + 6 v - 112=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=6,\qquad C=-112$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(6)^2=36$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-112)=-448$$ $$D=B^2-4AC=36-(-448)=484$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{484}=22$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(6)+22}{2\cdot(1)}=\frac{16}{2}=8$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(6)-22}{2\cdot(1)}=\frac{-28}{2}=-14$$ Значение $v=-14$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=8$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=8$$ $$v_{\text{быстр}}=8+6=14$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{112}{8}=14$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{112}{14}=8$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=14-8=6$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая производительность, поэтому выбираем 14 л/мин. Ответ: $14$ л/мин.

Шаг 1. Переходим от времени к доле работы за единицу времени. Всю работу принимаем за 1. Если целую работу выполняют за T единиц времени, за одну такую единицу выполняют 1/T работы. Это и есть производительность. Время в условии измеряется в часах. Будем всё решение использовать эту единицу. Для известного участника №1 производительность равна: $$p_1=\frac1{40}$$ Для известного участника №2 производительность равна: $$p_2=\frac1{24}$$ Шаг 2. Находим искомую производительность. Совместная производительность — сумма производительностей участников, потому что их выполненные части складываются. Здесь нужно сложить все найденные доли. $$p=\frac1{40}+\frac1{24}$$ Приводим дроби к общему знаменателю 120. Для каждой дроби домножаем числитель и знаменатель на недостающий множитель: $$\frac1{40}=\frac{1\cdot3}{40\cdot3}=\frac{3}{120}$$ $$\frac1{24}=\frac{1\cdot5}{24\cdot5}=\frac{5}{120}$$ Теперь складываем или вычитаем числители, сохраняя общий знаменатель: $$p=\frac{3+5}{120}=\frac{8}{120}=\frac{1}{15}$$ Шаг 3. Возвращаемся от производительности ко времени. Чтобы выполнить всю единицу работы, делим её на долю работы за одну единицу времени. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь: $$T=\frac1p=1:\frac{1}{15}=1\cdot\frac{15}{1}=15$$ Это время совместной работы всех участников. Проверка смысла: полученное время меньше времени каждого участника по отдельности. Вместе они выполняют работу быстрее. Ответ: $15$ ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+7. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую производительность. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 7. На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность: $$t=\frac{V}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{198}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{198}{v+7}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 7 ч. $$\frac{198}v-\frac{198}{v+7}=7$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+7). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+7, во второй — на v: $$\frac{198(v+7)-198v}{v(v+7)}=7$$ Раскрываем скобки в числителе: $$198(v+7)-198v=198v+198\cdot7-198v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$198\cdot7=1386$$ $$\frac{1386}{v(v+7)}=7$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$1386=7v(v+7)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 7: $$v(v+7)=v^2+7v$$ $$1386=7v^2+7\cdot7v$$ $$7\cdot7=49$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$7 v^{2} + 49 v - 1386=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 7. $$v^{2} + 7 v - 198=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=7,\qquad C=-198$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(7)^2=49$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-198)=-792$$ $$D=B^2-4AC=49-(-792)=841$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{841}=29$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(7)+29}{2\cdot(1)}=\frac{22}{2}=11$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(7)-29}{2\cdot(1)}=\frac{-36}{2}=-18$$ Значение $v=-18$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=11$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=11$$ $$v_{\text{быстр}}=11+7=18$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{198}{11}=18$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{198}{18}=11$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=18-11=7$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая производительность, поэтому выбираем 18 деталей/ч. Ответ: $18$ деталей/ч.

Шаг 1. Переходим от времени к доле работы за единицу времени. Всю работу принимаем за 1. Если целую работу выполняют за T единиц времени, за одну такую единицу выполняют 1/T работы. Это и есть производительность. Время в условии измеряется в часах. Будем всё решение использовать эту единицу. Для известного участника №1 производительность равна: $$p_1=\frac1{42}$$ Для известного участника №2 производительность равна: $$p_2=\frac1{21}$$ Шаг 2. Находим искомую производительность. Совместная производительность — сумма производительностей участников, потому что их выполненные части складываются. Здесь нужно сложить все найденные доли. $$p=\frac1{42}+\frac1{21}$$ Приводим дроби к общему знаменателю 42. Для каждой дроби домножаем числитель и знаменатель на недостающий множитель: $$\frac1{42}=\frac{1\cdot1}{42\cdot1}=\frac{1}{42}$$ $$\frac1{21}=\frac{1\cdot2}{21\cdot2}=\frac{2}{42}$$ Теперь складываем или вычитаем числители, сохраняя общий знаменатель: $$p=\frac{1+2}{42}=\frac{3}{42}=\frac{1}{14}$$ Шаг 3. Возвращаемся от производительности ко времени. Чтобы выполнить всю единицу работы, делим её на долю работы за одну единицу времени. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь: $$T=\frac1p=1:\frac{1}{14}=1\cdot\frac{14}{1}=14$$ Это время совместной работы всех участников. Проверка смысла: полученное время меньше времени каждого участника по отдельности. Вместе они выполняют работу быстрее. Ответ: $14$ ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+4. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую производительность. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность: $$t=\frac{V}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{285}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{285}{v+4}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 4 мин. $$\frac{285}v-\frac{285}{v+4}=4$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+4). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+4, во второй — на v: $$\frac{285(v+4)-285v}{v(v+4)}=4$$ Раскрываем скобки в числителе: $$285(v+4)-285v=285v+285\cdot4-285v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$285\cdot4=1140$$ $$\frac{1140}{v(v+4)}=4$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$1140=4v(v+4)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 4: $$v(v+4)=v^2+4v$$ $$1140=4v^2+4\cdot4v$$ $$4\cdot4=16$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$4 v^{2} + 16 v - 1140=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 4. $$v^{2} + 4 v - 285=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=4,\qquad C=-285$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(4)^2=16$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-285)=-1140$$ $$D=B^2-4AC=16-(-1140)=1156$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1156}=34$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(4)+34}{2\cdot(1)}=\frac{30}{2}=15$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(4)-34}{2\cdot(1)}=\frac{-38}{2}=-19$$ Значение $v=-19$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=15$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=15$$ $$v_{\text{быстр}}=15+4=19$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{285}{15}=19$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{285}{19}=15$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=19-15=4$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая производительность, поэтому выбираем 15 л/мин. Ответ: $15$ л/мин.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+4. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую производительность. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 4. На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность: $$t=\frac{V}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{672}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{672}{v+4}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 4 мин. $$\frac{672}v-\frac{672}{v+4}=4$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+4). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+4, во второй — на v: $$\frac{672(v+4)-672v}{v(v+4)}=4$$ Раскрываем скобки в числителе: $$672(v+4)-672v=672v+672\cdot4-672v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$672\cdot4=2688$$ $$\frac{2688}{v(v+4)}=4$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$2688=4v(v+4)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 4: $$v(v+4)=v^2+4v$$ $$2688=4v^2+4\cdot4v$$ $$4\cdot4=16$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$4 v^{2} + 16 v - 2688=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 4. $$v^{2} + 4 v - 672=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=4,\qquad C=-672$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(4)^2=16$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-672)=-2688$$ $$D=B^2-4AC=16-(-2688)=2704$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{2704}=52$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(4)+52}{2\cdot(1)}=\frac{48}{2}=24$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(4)-52}{2\cdot(1)}=\frac{-56}{2}=-28$$ Значение $v=-28$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=24$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=24$$ $$v_{\text{быстр}}=24+4=28$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{672}{24}=28$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{672}{28}=24$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=28-24=4$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая производительность, поэтому выбираем 28 л/мин. Ответ: $28$ л/мин.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти последний безопасный момент отключения прибора. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 1870. В задаче единица времени уже та, которая нужна в ответе. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$T(t)=T_0+bt+at^2$$ Числовые коэффициенты уже заданы в условии. Подставляем требуемую высоту или температуру вместо значения функции: $$1870=1600+(105)t+(-5)t^2$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 1870 из обеих частей. Получаем уравнение: $$- 5 t^{2} + 105 t - 270=0$$ Делим все члены на общий ненулевой множитель -5: $$t^{2} - 21 t + 54=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=-21,\qquad C=54$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-21)^2=441$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(54)=216$$ $$D=B^2-4AC=441-(216)=225$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{225}=15$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-21)+15}{2\cdot(1)}=\frac{36}{2}=18$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-21)-15}{2\cdot(1)}=\frac{6}{2}=3$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. Опасность возникает строго выше указанной температуры. Между двумя найденными моментами температура выше границы: парабола температуры направлена вниз. При непрерывной работе нельзя ждать второго момента, потому что до него прибор уже прошёл бы опасный участок. Поэтому нужно выбрать первый момент достижения границы: $$t=3$$ В этот момент температура ещё равна допустимому пределу, поэтому равенство разрешено. Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$T(3)=- 5 \left(3\right)^{2} + 105 \left(3\right) + 1600$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$3^{2}=9$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-5\right) 9=-45$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$105 \cdot 3=315$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-45 + 315 + 1600=1870$$ Получили 1870, как требовалось в условии. Ответ: $3$ мин.

Шаг 1. Переходим от времени к доле работы за единицу времени. Всю работу принимаем за 1. Если целую работу выполняют за T единиц времени, за одну такую единицу выполняют 1/T работы. Это и есть производительность. Время в условии измеряется в минутах. Будем всё решение использовать эту единицу. Для совместной работы производительность равна: $$p_1=\frac1{24}$$ Для известного участника №2 производительность равна: $$p_2=\frac1{42}$$ Шаг 2. Находим искомую производительность. Совместная производительность — сумма производительностей участников, потому что их выполненные части складываются. Здесь общая производительность уже известна. Поэтому из неё вычитаем производительность известного участника, чтобы получить производительность второго. $$p=\frac1{24}-\frac1{42}$$ Приводим дроби к общему знаменателю 168. Для каждой дроби домножаем числитель и знаменатель на недостающий множитель: $$\frac1{24}=\frac{1\cdot7}{24\cdot7}=\frac{7}{168}$$ $$\frac1{42}=\frac{1\cdot4}{42\cdot4}=\frac{4}{168}$$ Теперь складываем или вычитаем числители, сохраняя общий знаменатель: $$p=\frac{7-4}{168}=\frac{3}{168}=\frac{1}{56}$$ Шаг 3. Возвращаемся от производительности ко времени. Чтобы выполнить всю единицу работы, делим её на долю работы за одну единицу времени. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь: $$T=\frac1p=1:\frac{1}{56}=1\cdot\frac{56}{1}=56$$ Это время работы только искомого участника. Проверка: производительности двух участников снова дают известную общую производительность: $$\frac{1}{56}+\frac{1}{42}=\frac{1}{24}$$ Ответ: $56$ мин.

Шаг 1. Переходим от времени к доле работы за единицу времени. Всю работу принимаем за 1. Если целую работу выполняют за T единиц времени, за одну такую единицу выполняют 1/T работы. Это и есть производительность. Время в условии измеряется в минутах. Будем всё решение использовать эту единицу. Для совместной работы производительность равна: $$p_1=\frac1{24}$$ Для известного участника №2 производительность равна: $$p_2=\frac1{120}$$ Шаг 2. Находим искомую производительность. Совместная производительность — сумма производительностей участников, потому что их выполненные части складываются. Здесь общая производительность уже известна. Поэтому из неё вычитаем производительность известного участника, чтобы получить производительность второго. $$p=\frac1{24}-\frac1{120}$$ Приводим дроби к общему знаменателю 120. Для каждой дроби домножаем числитель и знаменатель на недостающий множитель: $$\frac1{24}=\frac{1\cdot5}{24\cdot5}=\frac{5}{120}$$ $$\frac1{120}=\frac{1\cdot1}{120\cdot1}=\frac{1}{120}$$ Теперь складываем или вычитаем числители, сохраняя общий знаменатель: $$p=\frac{5-1}{120}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$$ Шаг 3. Возвращаемся от производительности ко времени. Чтобы выполнить всю единицу работы, делим её на долю работы за одну единицу времени. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь: $$T=\frac1p=1:\frac{1}{30}=1\cdot\frac{30}{1}=30$$ Это время работы только искомого участника. Проверка: производительности двух участников снова дают известную общую производительность: $$\frac{1}{30}+\frac{1}{120}=\frac{1}{24}$$ Ответ: $30$ мин.

Шаг 1. Переходим от времени к доле работы за единицу времени. Всю работу принимаем за 1. Если целую работу выполняют за T единиц времени, за одну такую единицу выполняют 1/T работы. Это и есть производительность. Время в условии измеряется в часах. Будем всё решение использовать эту единицу. Для известного участника №1 производительность равна: $$p_1=\frac1{36}$$ Для известного участника №2 производительность равна: $$p_2=\frac1{12}$$ Шаг 2. Находим искомую производительность. Совместная производительность — сумма производительностей участников, потому что их выполненные части складываются. Здесь нужно сложить все найденные доли. $$p=\frac1{36}+\frac1{12}$$ Приводим дроби к общему знаменателю 36. Для каждой дроби домножаем числитель и знаменатель на недостающий множитель: $$\frac1{36}=\frac{1\cdot1}{36\cdot1}=\frac{1}{36}$$ $$\frac1{12}=\frac{1\cdot3}{12\cdot3}=\frac{3}{36}$$ Теперь складываем или вычитаем числители, сохраняя общий знаменатель: $$p=\frac{1+3}{36}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$$ Шаг 3. Возвращаемся от производительности ко времени. Чтобы выполнить всю единицу работы, делим её на долю работы за одну единицу времени. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь: $$T=\frac1p=1:\frac{1}{9}=1\cdot\frac{9}{1}=9$$ Это время совместной работы всех участников. Проверка смысла: полученное время меньше времени каждого участника по отдельности. Вместе они выполняют работу быстрее. Ответ: $9$ ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+4. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую производительность. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность: $$t=\frac{V}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{192}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{192}{v+4}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 4 ч. $$\frac{192}v-\frac{192}{v+4}=4$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+4). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+4, во второй — на v: $$\frac{192(v+4)-192v}{v(v+4)}=4$$ Раскрываем скобки в числителе: $$192(v+4)-192v=192v+192\cdot4-192v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$192\cdot4=768$$ $$\frac{768}{v(v+4)}=4$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$768=4v(v+4)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 4: $$v(v+4)=v^2+4v$$ $$768=4v^2+4\cdot4v$$ $$4\cdot4=16$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$4 v^{2} + 16 v - 768=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 4. $$v^{2} + 4 v - 192=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=4,\qquad C=-192$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(4)^2=16$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-192)=-768$$ $$D=B^2-4AC=16-(-768)=784$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{784}=28$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(4)+28}{2\cdot(1)}=\frac{24}{2}=12$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(4)-28}{2\cdot(1)}=\frac{-32}{2}=-16$$ Значение $v=-16$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=12$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=12$$ $$v_{\text{быстр}}=12+4=16$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{192}{12}=16$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{192}{16}=12$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=16-12=4$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая производительность, поэтому выбираем 12 деталей/ч. Ответ: $12$ деталей/ч.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти последний безопасный момент отключения прибора. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 1800. В задаче единица времени уже та, которая нужна в ответе. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$T(t)=T_0+bt+at^2$$ Числовые коэффициенты уже заданы в условии. Подставляем требуемую высоту или температуру вместо значения функции: $$1800=1380+(165)t+(-15)t^2$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 1800 из обеих частей. Получаем уравнение: $$- 15 t^{2} + 165 t - 420=0$$ Делим все члены на общий ненулевой множитель -15: $$t^{2} - 11 t + 28=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=-11,\qquad C=28$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-11)^2=121$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(28)=112$$ $$D=B^2-4AC=121-(112)=9$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{9}=3$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-11)+3}{2\cdot(1)}=\frac{14}{2}=7$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-11)-3}{2\cdot(1)}=\frac{8}{2}=4$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. Опасность возникает строго выше указанной температуры. Между двумя найденными моментами температура выше границы: парабола температуры направлена вниз. При непрерывной работе нельзя ждать второго момента, потому что до него прибор уже прошёл бы опасный участок. Поэтому нужно выбрать первый момент достижения границы: $$t=4$$ В этот момент температура ещё равна допустимому пределу, поэтому равенство разрешено. Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$T(4)=- 15 \left(4\right)^{2} + 165 \left(4\right) + 1380$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$4^{2}=16$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-15\right) 16=-240$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$165 \cdot 4=660$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-240 + 660 + 1380=1800$$ Получили 1800, как требовалось в условии. Ответ: $4$ мин.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+2. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую производительность. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность: $$t=\frac{V}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{112}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{112}{v+2}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 1 ч. $$\frac{112}v-\frac{112}{v+2}=1$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+2). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+2, во второй — на v: $$\frac{112(v+2)-112v}{v(v+2)}=1$$ Раскрываем скобки в числителе: $$112(v+2)-112v=112v+112\cdot2-112v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$112\cdot2=224$$ $$\frac{224}{v(v+2)}=1$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$224=1v(v+2)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 1: $$v(v+2)=v^2+2v$$ $$224=1v^2+1\cdot2v$$ $$1\cdot2=2$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$v^{2} + 2 v - 224=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=2,\qquad C=-224$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(2)^2=4$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-224)=-896$$ $$D=B^2-4AC=4-(-896)=900$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{900}=30$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)+30}{2\cdot(1)}=\frac{28}{2}=14$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)-30}{2\cdot(1)}=\frac{-32}{2}=-16$$ Значение $v=-16$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=14$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=14$$ $$v_{\text{быстр}}=14+2=16$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{112}{14}=8$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{112}{16}=7$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=8-7=1$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая производительность, поэтому выбираем 14 деталей/ч. Ответ: $14$ деталей/ч.

Шаг 1. Переходим от времени к доле работы за единицу времени. Всю работу принимаем за 1. Если целую работу выполняют за T единиц времени, за одну такую единицу выполняют 1/T работы. Это и есть производительность. Время в условии измеряется в минутах. Будем всё решение использовать эту единицу. Третий насос работает 1 ч 50 мин. Переводим это время в минуты: $$1\cdot60+50=110$$ Для известного участника №1 производительность равна: $$p_1=\frac1{11}$$ Для известного участника №2 производительность равна: $$p_2=\frac1{15}$$ Для известного участника №3 производительность равна: $$p_3=\frac1{110}$$ Шаг 2. Находим искомую производительность. Совместная производительность — сумма производительностей участников, потому что их выполненные части складываются. Здесь нужно сложить все найденные доли. $$p=\frac1{11}+\frac1{15}+\frac1{110}$$ Приводим дроби к общему знаменателю 330. Для каждой дроби домножаем числитель и знаменатель на недостающий множитель: $$\frac1{11}=\frac{1\cdot30}{11\cdot30}=\frac{30}{330}$$ $$\frac1{15}=\frac{1\cdot22}{15\cdot22}=\frac{22}{330}$$ $$\frac1{110}=\frac{1\cdot3}{110\cdot3}=\frac{3}{330}$$ Теперь складываем или вычитаем числители, сохраняя общий знаменатель: $$p=\frac{30+22+3}{330}=\frac{55}{330}=\frac{1}{6}$$ Шаг 3. Возвращаемся от производительности ко времени. Чтобы выполнить всю единицу работы, делим её на долю работы за одну единицу времени. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь: $$T=\frac1p=1:\frac{1}{6}=1\cdot\frac{6}{1}=6$$ Это время совместной работы всех участников. Проверка смысла: полученное время меньше времени каждого участника по отдельности. Вместе они выполняют работу быстрее. Ответ: $6$ мин.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+5. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую производительность. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность: $$t=\frac{V}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{104}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{104}{v+5}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 5 мин. $$\frac{104}v-\frac{104}{v+5}=5$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+5). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+5, во второй — на v: $$\frac{104(v+5)-104v}{v(v+5)}=5$$ Раскрываем скобки в числителе: $$104(v+5)-104v=104v+104\cdot5-104v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$104\cdot5=520$$ $$\frac{520}{v(v+5)}=5$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$520=5v(v+5)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 5: $$v(v+5)=v^2+5v$$ $$520=5v^2+5\cdot5v$$ $$5\cdot5=25$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$5 v^{2} + 25 v - 520=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 5. $$v^{2} + 5 v - 104=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=5,\qquad C=-104$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(5)^2=25$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-104)=-416$$ $$D=B^2-4AC=25-(-416)=441$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{441}=21$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(5)+21}{2\cdot(1)}=\frac{16}{2}=8$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(5)-21}{2\cdot(1)}=\frac{-26}{2}=-13$$ Значение $v=-13$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=8$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=8$$ $$v_{\text{быстр}}=8+5=13$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{104}{8}=13$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{104}{13}=8$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=13-8=5$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая производительность, поэтому выбираем 8 л/мин. Ответ: $8$ л/мин.

Шаг 1. Переходим от времени к доле работы за единицу времени. Всю работу принимаем за 1. Если целую работу выполняют за T единиц времени, за одну такую единицу выполняют 1/T работы. Это и есть производительность. Время в условии измеряется в минутах. Будем всё решение использовать эту единицу. Для совместной работы производительность равна: $$p_1=\frac1{24}$$ Для известного участника №2 производительность равна: $$p_2=\frac1{36}$$ Шаг 2. Находим искомую производительность. Совместная производительность — сумма производительностей участников, потому что их выполненные части складываются. Здесь общая производительность уже известна. Поэтому из неё вычитаем производительность известного участника, чтобы получить производительность второго. $$p=\frac1{24}-\frac1{36}$$ Приводим дроби к общему знаменателю 72. Для каждой дроби домножаем числитель и знаменатель на недостающий множитель: $$\frac1{24}=\frac{1\cdot3}{24\cdot3}=\frac{3}{72}$$ $$\frac1{36}=\frac{1\cdot2}{36\cdot2}=\frac{2}{72}$$ Теперь складываем или вычитаем числители, сохраняя общий знаменатель: $$p=\frac{3-2}{72}=\frac{1}{72}=\frac{1}{72}$$ Шаг 3. Возвращаемся от производительности ко времени. Чтобы выполнить всю единицу работы, делим её на долю работы за одну единицу времени. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь: $$T=\frac1p=1:\frac{1}{72}=1\cdot\frac{72}{1}=72$$ Это время работы только искомого участника. Проверка: производительности двух участников снова дают известную общую производительность: $$\frac{1}{72}+\frac{1}{36}=\frac{1}{24}$$ Ответ: $72$ мин.