Движение по прямой — задание №10 ЕГЭ по математике

Шаг 1. Выбираем правильную формулу средней скорости. Средняя скорость — весь пройденный путь, делённый на всё затраченное время. Складывать скорости и делить на количество участков нельзя: участки могут иметь разную длительность. $$v_{\text{ср}}=\frac{S_{\text{весь}}}{t_{\text{всё}}}$$ Шаг 2. Считаем путь и время для каждого участка. На участке 1 известны время 1 ч и скорость 115 км/ч. Путь равен их произведению: $$S_1=115\cdot1=115$$ На участке 2 известны время 3 ч и скорость 45 км/ч. Путь равен их произведению: $$S_2=45\cdot3=135$$ На участке 3 известны время 2 ч и скорость 40 км/ч. Путь равен их произведению: $$S_3=40\cdot2=80$$ Шаг 3. Складываем пути и времена. Все времена выражены в часах: $$S_{\text{весь}}=115+135+80=330$$ $$t_{\text{всё}}=1+3+2=6$$ Шаг 4. Делим весь путь на всё время. Если время записано дробью, деление заменяем умножением на обратную дробь: $$v_{\text{ср}}=\frac{330}{6}=330\cdot\frac{1}{6}=55$$ Проверка: средняя скорость находится между наименьшей и наибольшей скоростями отдельных участков. Ответ: $55$ км/ч.

Шаг 1. Выбираем правильную формулу средней скорости. Средняя скорость — весь пройденный путь, делённый на всё затраченное время. Складывать скорости и делить на количество участков нельзя: участки могут иметь разную длительность. $$v_{\text{ср}}=\frac{S_{\text{весь}}}{t_{\text{всё}}}$$ Шаг 2. Считаем путь и время для каждого участка. На участке 1 известны время 1 ч и скорость 120 км/ч. Путь равен их произведению: $$S_1=120\cdot1=120$$ На участке 2 известны время 3 ч и скорость 105 км/ч. Путь равен их произведению: $$S_2=105\cdot3=315$$ На участке 3 известны время 3 ч и скорость 65 км/ч. Путь равен их произведению: $$S_3=65\cdot3=195$$ Шаг 3. Складываем пути и времена. Все времена выражены в часах: $$S_{\text{весь}}=120+315+195=630$$ $$t_{\text{всё}}=1+3+3=7$$ Шаг 4. Делим весь путь на всё время. Если время записано дробью, деление заменяем умножением на обратную дробь: $$v_{\text{ср}}=\frac{630}{7}=630\cdot\frac{1}{7}=90$$ Проверка: средняя скорость находится между наименьшей и наибольшей скоростями отдельных участков. Ответ: $90$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим скорость второго, более медленного велосипедиста через $v$, в км/ч. Скорость первого, более быстрого велосипедиста тогда равна $v+9$, в км/ч. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую скорость. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 9. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Время второго, более медленного велосипедиста: $$t_{\text{медл}}=\frac{190}{v}$$ Время первого, более быстрого велосипедиста: $$t_{\text{быстр}}=\frac{190}{v+9}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленный велосипедист тратит на тот же путь больше времени. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 9 ч. $$\frac{190}v-\frac{190}{v+9}=9$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+9). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+9, во второй — на v: $$\frac{190(v+9)-190v}{v(v+9)}=9$$ Раскрываем скобки в числителе: $$190(v+9)-190v=190v+190\cdot9-190v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$190\cdot9=1710$$ $$\frac{1710}{v(v+9)}=9$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$1710=9v(v+9)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 9: $$v(v+9)=v^2+9v$$ $$1710=9v^2+9\cdot9v$$ $$9\cdot9=81$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$9 v^{2} + 81 v - 1710=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 9. $$v^{2} + 9 v - 190=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=9,\qquad C=-190$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(9)^2=81$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-190)=-760$$ $$D=B^2-4AC=81-(-760)=841$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{841}=29$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(9)+29}{2\cdot(1)}=\frac{20}{2}=10$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(9)-29}{2\cdot(1)}=\frac{-38}{2}=-19$$ Значение $v=-19$ неположительно, поэтому не может быть скоростью велосипедиста. Его исключаем. Значение $v=10$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=10$$ $$v_{\text{быстр}}=10+9=19$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{190}{10}=19$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{190}{19}=10$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=19-10=9$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая скорость, поэтому выбираем 19 км/ч. Ответ: $19$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+1. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую скорость. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{288}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{288}{v+1}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. На обратном пути скорость больше, но есть остановка. Общая длительность туда и обратно одинакова. Поэтому само движение обратно должно быть короче ровно на длительность остановки. $$\frac{288}v-\frac{288}{v+1}=4$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+1). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+1, во второй — на v: $$\frac{288(v+1)-288v}{v(v+1)}=4$$ Раскрываем скобки в числителе: $$288(v+1)-288v=288v+288\cdot1-288v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$288\cdot1=288$$ $$\frac{288}{v(v+1)}=4$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$288=4v(v+1)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 4: $$v(v+1)=v^2+1v$$ $$288=4v^2+4\cdot1v$$ $$4\cdot1=4$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$4 v^{2} + 4 v - 288=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 4. $$v^{2} + v - 72=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=1,\qquad C=-72$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(1)^2=1$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-72)=-288$$ $$D=B^2-4AC=1-(-288)=289$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{289}=17$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(1)+17}{2\cdot(1)}=\frac{16}{2}=8$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(1)-17}{2\cdot(1)}=\frac{-18}{2}=-9$$ Значение $v=-9$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=8$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=8$$ $$v_{\text{быстр}}=8+1=9$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{288}{8}=36$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{288}{9}=32$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=36-32=4$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая скорость, поэтому выбираем 8 км/ч. Ответ: $8$ км/ч.

Шаг 1. Связываем место встречи с путями автомобилей. Первый автомобиль ехал из A и до встречи прошёл 260 км. Весь путь между городами равен 500 км. Поэтому второму автомобилю от B до встречи осталось пройти: $$S_2=500-260=240\text{ км}$$ Шаг 2. Находим время движения второго автомобиля. Его скорость известна — 80 км/ч. Время равно пути, делённому на скорость: $$t_2=\frac{S_2}{v_2}=\frac{240}{80}=3\text{ ч}$$ Шаг 3. Определяем время первого автомобиля. Он выехал на час раньше и остановился у места встречи одновременно со вторым. Поэтому ехал на один час дольше: $$t_1=t_2+1=3+1=4\text{ ч}$$ Шаг 4. Находим неизвестную скорость первого автомобиля. Делим его путь на его собственное время: $$v_1=\frac{S_1}{t_1}=\frac{260}{4}=65\text{ км/ч}$$ Шаг 5. Проверяем место встречи и разницу времён: $$65\cdot4=260$$ $$80\cdot3=240$$ $$260+240=500$$ $$4-3=1$$ Пути сложились в полное расстояние между городами, а первый действительно ехал на час дольше. Ответ: $65$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+6. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую скорость. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{108}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{108}{v+6}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. На обратном пути скорость больше, но есть остановка. Общая длительность туда и обратно одинакова. Поэтому само движение обратно должно быть короче ровно на длительность остановки. $$\frac{108}v-\frac{108}{v+6}=3$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+6). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+6, во второй — на v: $$\frac{108(v+6)-108v}{v(v+6)}=3$$ Раскрываем скобки в числителе: $$108(v+6)-108v=108v+108\cdot6-108v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$108\cdot6=648$$ $$\frac{648}{v(v+6)}=3$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$648=3v(v+6)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 3: $$v(v+6)=v^2+6v$$ $$648=3v^2+3\cdot6v$$ $$3\cdot6=18$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$3 v^{2} + 18 v - 648=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 3. $$v^{2} + 6 v - 216=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=6,\qquad C=-216$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(6)^2=36$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-216)=-864$$ $$D=B^2-4AC=36-(-864)=900$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{900}=30$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(6)+30}{2\cdot(1)}=\frac{24}{2}=12$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(6)-30}{2\cdot(1)}=\frac{-36}{2}=-18$$ Значение $v=-18$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=12$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=12$$ $$v_{\text{быстр}}=12+6=18$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{108}{12}=9$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{108}{18}=6$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=9-6=3$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая скорость, поэтому выбираем 12 км/ч. Ответ: $12$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+5. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую скорость. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 5. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{90}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{90}{v+5}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 3 ч. $$\frac{90}v-\frac{90}{v+5}=3$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+5). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+5, во второй — на v: $$\frac{90(v+5)-90v}{v(v+5)}=3$$ Раскрываем скобки в числителе: $$90(v+5)-90v=90v+90\cdot5-90v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$90\cdot5=450$$ $$\frac{450}{v(v+5)}=3$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$450=3v(v+5)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 3: $$v(v+5)=v^2+5v$$ $$450=3v^2+3\cdot5v$$ $$3\cdot5=15$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$3 v^{2} + 15 v - 450=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 3. $$v^{2} + 5 v - 150=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=5,\qquad C=-150$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(5)^2=25$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-150)=-600$$ $$D=B^2-4AC=25-(-600)=625$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{625}=25$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(5)+25}{2\cdot(1)}=\frac{20}{2}=10$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(5)-25}{2\cdot(1)}=\frac{-30}{2}=-15$$ Значение $v=-15$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=10$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=10$$ $$v_{\text{быстр}}=10+5=15$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{90}{10}=9$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{90}{15}=6$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=9-6=3$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая скорость, поэтому выбираем 15 км/ч. Ответ: $15$ км/ч.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти время торможения. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 36. В задаче единица времени уже та, которая нужна в ответе. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$S=v_0t-\frac{at^2}{2}$$ Вместо левой части записываем требуемую величину 36, вместо начальной скорости — 15, вместо ускорения — 2. Неизвестным остаётся только время t: $$36=15t-\frac{2t^2}{2}$$ Коэффициент при t² получается делением ускорения на 2. При торможении перед этим слагаемым стоит минус. $$\frac{2}{2}=1$$ После этой операции формула имеет вид: $$- t^{2} + 15 t=36$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 36 из обеих частей. Получаем уравнение: $$- t^{2} + 15 t - 36=0$$ Делим все члены на общий ненулевой множитель -1: $$t^{2} - 15 t + 36=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=-15,\qquad C=36$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-15)^2=225$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(36)=144$$ $$D=B^2-4AC=225-(144)=81$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{81}=9$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-15)+9}{2\cdot(1)}=\frac{24}{2}=12$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-15)-9}{2\cdot(1)}=\frac{6}{2}=3$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. Кроме того, торможение длится только до остановки. При постоянном замедлении скорость равна: $$v(t)=15-2t$$ При остановке скорость становится нулевой: $$15-2t=0$$ Прибавляем 2t к обеим частям и делим на 2: $$t=15/2=7{,}5$$ Поэтому для описанного торможения разрешено только: $$0\le t\le 7{,}5$$ Число $3$ лежит в этом промежутке и подходит. Число $12$ не лежит в этом промежутке и не подходит. Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$S(3)=- \left(3\right)^{2} + 15 \left(3\right)$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$3^{2}=9$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) 9=-9$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$15 \cdot 3=45$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-9 + 45=36$$ Получили 36, как требовалось в условии. Ответ: $3$ с.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+2. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую скорость. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 2. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{323}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{323}{v+2}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более быстрый теплоход отправился позже, а прибыл одновременно с первым. Значит, он находился в пути на время задержки меньше. $$\frac{323}v-\frac{323}{v+2}=2$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+2). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+2, во второй — на v: $$\frac{323(v+2)-323v}{v(v+2)}=2$$ Раскрываем скобки в числителе: $$323(v+2)-323v=323v+323\cdot2-323v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$323\cdot2=646$$ $$\frac{646}{v(v+2)}=2$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$646=2v(v+2)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 2: $$v(v+2)=v^2+2v$$ $$646=2v^2+2\cdot2v$$ $$2\cdot2=4$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$2 v^{2} + 4 v - 646=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 2. $$v^{2} + 2 v - 323=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=2,\qquad C=-323$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(2)^2=4$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-323)=-1292$$ $$D=B^2-4AC=4-(-1292)=1296$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1296}=36$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)+36}{2\cdot(1)}=\frac{34}{2}=17$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)-36}{2\cdot(1)}=\frac{-38}{2}=-19$$ Значение $v=-19$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=17$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=17$$ $$v_{\text{быстр}}=17+2=19$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{323}{17}=19$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{323}{19}=17$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=19-17=2$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая скорость, поэтому выбираем 19 км/ч. Ответ: $19$ км/ч.

Шаг 1. Выбираем правильную формулу средней скорости. Средняя скорость — весь пройденный путь, делённый на всё затраченное время. Складывать скорости и делить на количество участков нельзя: участки могут иметь разную длительность. $$v_{\text{ср}}=\frac{S_{\text{весь}}}{t_{\text{всё}}}$$ Шаг 2. Считаем путь и время для каждого участка. На участке 1 известны путь 120 км и скорость 60 км/ч. Время находим делением: $$t_1=\frac{120}{60}=2$$ На участке 2 известны путь 200 км и скорость 100 км/ч. Время находим делением: $$t_2=\frac{200}{100}=2$$ На участке 3 известны путь 160 км и скорость 120 км/ч. Время находим делением: $$t_3=\frac{160}{120}=\frac{4}{3}$$ Шаг 3. Складываем пути и времена. Все времена выражены в часах: $$S_{\text{весь}}=120+200+160=480$$ $$t_{\text{всё}}=2+2+\frac{4}{3}=\frac{6+6+4}{3}=\frac{16}{3}$$ Шаг 4. Делим весь путь на всё время. Если время записано дробью, деление заменяем умножением на обратную дробь: $$v_{\text{ср}}=\frac{480}{\frac{16}{3}}=480\cdot\frac{3}{16}=90$$ Проверка: средняя скорость находится между наименьшей и наибольшей скоростями отдельных участков. Ответ: $90$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+2. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую скорость. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{80}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{80}{v+2}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 2 ч. $$\frac{80}v-\frac{80}{v+2}=2$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+2). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+2, во второй — на v: $$\frac{80(v+2)-80v}{v(v+2)}=2$$ Раскрываем скобки в числителе: $$80(v+2)-80v=80v+80\cdot2-80v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$80\cdot2=160$$ $$\frac{160}{v(v+2)}=2$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$160=2v(v+2)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 2: $$v(v+2)=v^2+2v$$ $$160=2v^2+2\cdot2v$$ $$2\cdot2=4$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$2 v^{2} + 4 v - 160=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 2. $$v^{2} + 2 v - 80=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=2,\qquad C=-80$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(2)^2=4$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-80)=-320$$ $$D=B^2-4AC=4-(-320)=324$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{324}=18$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)+18}{2\cdot(1)}=\frac{16}{2}=8$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)-18}{2\cdot(1)}=\frac{-20}{2}=-10$$ Значение $v=-10$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=8$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=8$$ $$v_{\text{быстр}}=8+2=10$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{80}{8}=10$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{80}{10}=8$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=10-8=2$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая скорость, поэтому выбираем 8 км/ч. Ответ: $8$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+2. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую скорость. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{168}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{168}{v+2}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более быстрый теплоход отправился позже, а прибыл одновременно с первым. Значит, он находился в пути на время задержки меньше. $$\frac{168}v-\frac{168}{v+2}=2$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+2). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+2, во второй — на v: $$\frac{168(v+2)-168v}{v(v+2)}=2$$ Раскрываем скобки в числителе: $$168(v+2)-168v=168v+168\cdot2-168v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$168\cdot2=336$$ $$\frac{336}{v(v+2)}=2$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$336=2v(v+2)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 2: $$v(v+2)=v^2+2v$$ $$336=2v^2+2\cdot2v$$ $$2\cdot2=4$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$2 v^{2} + 4 v - 336=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 2. $$v^{2} + 2 v - 168=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=2,\qquad C=-168$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(2)^2=4$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-168)=-672$$ $$D=B^2-4AC=4-(-672)=676$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{676}=26$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)+26}{2\cdot(1)}=\frac{24}{2}=12$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)-26}{2\cdot(1)}=\frac{-28}{2}=-14$$ Значение $v=-14$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=12$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=12$$ $$v_{\text{быстр}}=12+2=14$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{168}{12}=14$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{168}{14}=12$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=14-12=2$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая скорость, поэтому выбираем 12 км/ч. Ответ: $12$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+9. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую скорость. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 9. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{220}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{220}{v+9}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 9 ч. $$\frac{220}v-\frac{220}{v+9}=9$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+9). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+9, во второй — на v: $$\frac{220(v+9)-220v}{v(v+9)}=9$$ Раскрываем скобки в числителе: $$220(v+9)-220v=220v+220\cdot9-220v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$220\cdot9=1980$$ $$\frac{1980}{v(v+9)}=9$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$1980=9v(v+9)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 9: $$v(v+9)=v^2+9v$$ $$1980=9v^2+9\cdot9v$$ $$9\cdot9=81$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$9 v^{2} + 81 v - 1980=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 9. $$v^{2} + 9 v - 220=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=9,\qquad C=-220$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(9)^2=81$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-220)=-880$$ $$D=B^2-4AC=81-(-880)=961$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{961}=31$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(9)+31}{2\cdot(1)}=\frac{22}{2}=11$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(9)-31}{2\cdot(1)}=\frac{-40}{2}=-20$$ Значение $v=-20$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=11$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=11$$ $$v_{\text{быстр}}=11+9=20$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{220}{11}=20$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{220}{20}=11$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=20-11=9$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая скорость, поэтому выбираем 20 км/ч. Ответ: $20$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+8. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую скорость. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{144}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{144}{v+8}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 9 ч. $$\frac{144}v-\frac{144}{v+8}=9$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+8). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+8, во второй — на v: $$\frac{144(v+8)-144v}{v(v+8)}=9$$ Раскрываем скобки в числителе: $$144(v+8)-144v=144v+144\cdot8-144v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$144\cdot8=1152$$ $$\frac{1152}{v(v+8)}=9$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$1152=9v(v+8)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 9: $$v(v+8)=v^2+8v$$ $$1152=9v^2+9\cdot8v$$ $$9\cdot8=72$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$9 v^{2} + 72 v - 1152=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 9. $$v^{2} + 8 v - 128=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=8,\qquad C=-128$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(8)^2=64$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-128)=-512$$ $$D=B^2-4AC=64-(-512)=576$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{576}=24$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(8)+24}{2\cdot(1)}=\frac{16}{2}=8$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(8)-24}{2\cdot(1)}=\frac{-32}{2}=-16$$ Значение $v=-16$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=8$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=8$$ $$v_{\text{быстр}}=8+8=16$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{144}{8}=18$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{144}{16}=9$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=18-9=9$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая скорость, поэтому выбираем 8 км/ч. Ответ: $8$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+6. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую скорость. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 6. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{90}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{90}{v+6}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. На обратном пути скорость больше, но есть остановка. Общая длительность туда и обратно одинакова. Поэтому само движение обратно должно быть короче ровно на длительность остановки. $$\frac{90}v-\frac{90}{v+6}=4$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+6). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+6, во второй — на v: $$\frac{90(v+6)-90v}{v(v+6)}=4$$ Раскрываем скобки в числителе: $$90(v+6)-90v=90v+90\cdot6-90v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$90\cdot6=540$$ $$\frac{540}{v(v+6)}=4$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$540=4v(v+6)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 4: $$v(v+6)=v^2+6v$$ $$540=4v^2+4\cdot6v$$ $$4\cdot6=24$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$4 v^{2} + 24 v - 540=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 4. $$v^{2} + 6 v - 135=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=6,\qquad C=-135$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(6)^2=36$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-135)=-540$$ $$D=B^2-4AC=36-(-540)=576$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{576}=24$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(6)+24}{2\cdot(1)}=\frac{18}{2}=9$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(6)-24}{2\cdot(1)}=\frac{-30}{2}=-15$$ Значение $v=-15$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=9$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=9$$ $$v_{\text{быстр}}=9+6=15$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{90}{9}=10$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{90}{15}=6$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=10-6=4$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая скорость, поэтому выбираем 15 км/ч. Ответ: $15$ км/ч.

Шаг 1. Выбираем правильную формулу средней скорости. Средняя скорость — весь пройденный путь, делённый на всё затраченное время. Складывать скорости и делить на количество участков нельзя: участки могут иметь разную длительность. $$v_{\text{ср}}=\frac{S_{\text{весь}}}{t_{\text{всё}}}$$ Шаг 2. Считаем путь и время для каждого участка. На участке 1 известны путь 200 км и скорость 60 км/ч. Время находим делением: $$t_1=\frac{200}{60}=\frac{10}{3}$$ На участке 2 известны путь 180 км и скорость 90 км/ч. Время находим делением: $$t_2=\frac{180}{90}=2$$ На участке 3 известны путь 140 км и скорость 120 км/ч. Время находим делением: $$t_3=\frac{140}{120}=\frac{7}{6}$$ Шаг 3. Складываем пути и времена. Все времена выражены в часах: $$S_{\text{весь}}=200+180+140=520$$ $$t_{\text{всё}}=\frac{10}{3}+2+\frac{7}{6}=\frac{20+12+7}{6}=\frac{13}{2}$$ Шаг 4. Делим весь путь на всё время. Если время записано дробью, деление заменяем умножением на обратную дробь: $$v_{\text{ср}}=\frac{520}{\frac{13}{2}}=520\cdot\frac{2}{13}=80$$ Проверка: средняя скорость находится между наименьшей и наибольшей скоростями отдельных участков. Ответ: $80$ км/ч.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти время торможения. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 90. В задаче единица времени уже та, которая нужна в ответе. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$S=v_0t-\frac{at^2}{2}$$ Вместо левой части записываем требуемую величину 90, вместо начальной скорости — 24, вместо ускорения — 3. Неизвестным остаётся только время t: $$90=24t-\frac{3t^2}{2}$$ Коэффициент при t² получается делением ускорения на 2. При торможении перед этим слагаемым стоит минус. $$\frac{3}{2}=1{,}5$$ После этой операции формула имеет вид: $$- \frac{3 t^{2}}{2} + 24 t=90$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 90 из обеих частей. Получаем уравнение: $$- \frac{3 t^{2}}{2} + 24 t - 90=0$$ Чтобы убрать дробные коэффициенты, умножаем каждый член и правую часть на 2: $$- 3 t^{2} + 48 t - 180=0$$ Делим все члены на общий ненулевой множитель -3: $$t^{2} - 16 t + 60=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=-16,\qquad C=60$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-16)^2=256$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(60)=240$$ $$D=B^2-4AC=256-(240)=16$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{16}=4$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-16)+4}{2\cdot(1)}=\frac{20}{2}=10$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-16)-4}{2\cdot(1)}=\frac{12}{2}=6$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. Кроме того, торможение длится только до остановки. При постоянном замедлении скорость равна: $$v(t)=24-3t$$ При остановке скорость становится нулевой: $$24-3t=0$$ Прибавляем 3t к обеим частям и делим на 3: $$t=24/3=8$$ Поэтому для описанного торможения разрешено только: $$0\le t\le 8$$ Число $6$ лежит в этом промежутке и подходит. Число $10$ не лежит в этом промежутке и не подходит. Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$S(6)=- \frac{3 \left(6\right)^{2}}{2} + 24 \left(6\right)$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$24 \cdot 6=144$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$6^{2}=36$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(- \frac{3}{2}\right) 36=-54$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-54 + 144=90$$ Получили 90, как требовалось в условии. Ответ: $6$ с.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+2. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую скорость. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{264}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{264}{v+2}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. На обратном пути скорость больше, но есть остановка. Общая длительность туда и обратно одинакова. Поэтому само движение обратно должно быть короче ровно на длительность остановки. $$\frac{264}v-\frac{264}{v+2}=1$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+2). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+2, во второй — на v: $$\frac{264(v+2)-264v}{v(v+2)}=1$$ Раскрываем скобки в числителе: $$264(v+2)-264v=264v+264\cdot2-264v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$264\cdot2=528$$ $$\frac{528}{v(v+2)}=1$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$528=1v(v+2)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 1: $$v(v+2)=v^2+2v$$ $$528=1v^2+1\cdot2v$$ $$1\cdot2=2$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$v^{2} + 2 v - 528=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=2,\qquad C=-528$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(2)^2=4$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-528)=-2112$$ $$D=B^2-4AC=4-(-2112)=2116$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{2116}=46$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)+46}{2\cdot(1)}=\frac{44}{2}=22$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)-46}{2\cdot(1)}=\frac{-48}{2}=-24$$ Значение $v=-24$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=22$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=22$$ $$v_{\text{быстр}}=22+2=24$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{264}{22}=12$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{264}{24}=11$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=12-11=1$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая скорость, поэтому выбираем 22 км/ч. Ответ: $22$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+2. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую скорость. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 2. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{112}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{112}{v+2}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 1 ч. $$\frac{112}v-\frac{112}{v+2}=1$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+2). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+2, во второй — на v: $$\frac{112(v+2)-112v}{v(v+2)}=1$$ Раскрываем скобки в числителе: $$112(v+2)-112v=112v+112\cdot2-112v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$112\cdot2=224$$ $$\frac{224}{v(v+2)}=1$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$224=1v(v+2)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 1: $$v(v+2)=v^2+2v$$ $$224=1v^2+1\cdot2v$$ $$1\cdot2=2$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$v^{2} + 2 v - 224=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=2,\qquad C=-224$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(2)^2=4$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-224)=-896$$ $$D=B^2-4AC=4-(-896)=900$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{900}=30$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)+30}{2\cdot(1)}=\frac{28}{2}=14$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)-30}{2\cdot(1)}=\frac{-32}{2}=-16$$ Значение $v=-16$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=14$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=14$$ $$v_{\text{быстр}}=14+2=16$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{112}{14}=8$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{112}{16}=7$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=8-7=1$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая скорость, поэтому выбираем 16 км/ч. Ответ: $16$ км/ч.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти время торможения. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 132. В задаче единица времени уже та, которая нужна в ответе. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$S=v_0t-\frac{at^2}{2}$$ Вместо левой части записываем требуемую величину 132, вместо начальной скорости — 23, вместо ускорения — 2. Неизвестным остаётся только время t: $$132=23t-\frac{2t^2}{2}$$ Коэффициент при t² получается делением ускорения на 2. При торможении перед этим слагаемым стоит минус. $$\frac{2}{2}=1$$ После этой операции формула имеет вид: $$- t^{2} + 23 t=132$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 132 из обеих частей. Получаем уравнение: $$- t^{2} + 23 t - 132=0$$ Делим все члены на общий ненулевой множитель -1: $$t^{2} - 23 t + 132=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=-23,\qquad C=132$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-23)^2=529$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(132)=528$$ $$D=B^2-4AC=529-(528)=1$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1}=1$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-23)+1}{2\cdot(1)}=\frac{24}{2}=12$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-23)-1}{2\cdot(1)}=\frac{22}{2}=11$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. Кроме того, торможение длится только до остановки. При постоянном замедлении скорость равна: $$v(t)=23-2t$$ При остановке скорость становится нулевой: $$23-2t=0$$ Прибавляем 2t к обеим частям и делим на 2: $$t=23/2=11{,}5$$ Поэтому для описанного торможения разрешено только: $$0\le t\le 11{,}5$$ Число $11$ лежит в этом промежутке и подходит. Число $12$ не лежит в этом промежутке и не подходит. Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$S(11)=- \left(11\right)^{2} + 23 \left(11\right)$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$11^{2}=121$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) 121=-121$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$23 \cdot 11=253$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-121 + 253=132$$ Получили 132, как требовалось в условии. Ответ: $11$ с.