ФИПИ 8c7829 — Движение по прямой

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+2. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую скорость. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 2. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{112}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{112}{v+2}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 1 ч. $$\frac{112}v-\frac{112}{v+2}=1$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+2). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+2, во второй — на v: $$\frac{112(v+2)-112v}{v(v+2)}=1$$ Раскрываем скобки в числителе: $$112(v+2)-112v=112v+112\cdot2-112v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$112\cdot2=224$$ $$\frac{224}{v(v+2)}=1$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$224=1v(v+2)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 1: $$v(v+2)=v^2+2v$$ $$224=1v^2+1\cdot2v$$ $$1\cdot2=2$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$v^{2} + 2 v - 224=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=2,\qquad C=-224$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(2)^2=4$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-224)=-896$$ $$D=B^2-4AC=4-(-896)=900$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{900}=30$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)+30}{2\cdot(1)}=\frac{28}{2}=14$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)-30}{2\cdot(1)}=\frac{-32}{2}=-16$$ Значение $v=-16$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=14$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=14$$ $$v_{\text{быстр}}=14+2=16$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{112}{14}=8$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{112}{16}=7$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=8-7=1$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая скорость, поэтому выбираем 16 км/ч. Ответ: $16$ км/ч.