Два велосипедиста одновременно отправились в 160-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 6 км/ч большей, чем скорость второго,
и прибыл к финишу на 6 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: $10$.
Решение
Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем.
Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+6. Обе величины положительны, поэтому v>0.
Нужно найти меньшую скорость. Сначала определим v; это и будет искомая величина.
На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость:
$$t=\frac{S}{v}$$
Для меньшей величины время равно:
$$t_{\text{медл}}=\frac{160}{v}$$
Для большей величины время равно:
$$t_{\text{быстр}}=\frac{160}{v+6}$$
Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение.
Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 6 ч.
$$\frac{160}v-\frac{160}{v+6}=6$$
Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель — произведение v(v+6). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+6, во второй — на v:
$$\frac{160(v+6)-160v}{v(v+6)}=6$$
Раскрываем скобки в числителе:
$$160(v+6)-160v=160v+160\cdot6-160v$$
Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение:
$$160\cdot6=960$$
$$\frac{960}{v(v+6)}=6$$
Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него:
$$960=6v(v+6)$$
Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 6:
$$v(v+6)=v^2+6v$$
$$960=6v^2+6\cdot6v$$
$$6\cdot6=36$$
Переносим число влево и получаем квадратное уравнение:
$$6 v^{2} + 36 v - 960=0$$
Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения.
Делим каждый член на ненулевой общий множитель 6.
$$v^{2} + 6 v - 160=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь:
$$A=1,\qquad B=6,\qquad C=-160$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(6)^2=36$$
$$4AC=4\cdot(1)\cdot(-160)=-640$$
$$D=B^2-4AC=36-(-640)=676$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{676}=26$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(6)+26}{2\cdot(1)}=\frac{20}{2}=10$$
$$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(6)-26}{2\cdot(1)}=\frac{-32}{2}=-16$$
Значение $v=-16$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем.
Значение $v=10$ положительно, поэтому подходит.
Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена.
$$v_{\text{медл}}=10$$
$$v_{\text{быстр}}=10+6=16$$
$$t_{\text{медл}}=\frac{160}{10}=16$$
$$t_{\text{быстр}}=\frac{160}{16}=10$$
$$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=16-10=6$$
Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая скорость, поэтому выбираем 10 км/ч.
Ответ: $10$ км/ч.