ФИПИ DBc2D4 — Движение по прямой

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+4. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую скорость. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{285}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{285}{v+4}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более быстрый теплоход отправился позже, а прибыл одновременно с первым. Значит, он находился в пути на время задержки меньше. $$\frac{285}v-\frac{285}{v+4}=4$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+4). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+4, во второй — на v: $$\frac{285(v+4)-285v}{v(v+4)}=4$$ Раскрываем скобки в числителе: $$285(v+4)-285v=285v+285\cdot4-285v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$285\cdot4=1140$$ $$\frac{1140}{v(v+4)}=4$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$1140=4v(v+4)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 4: $$v(v+4)=v^2+4v$$ $$1140=4v^2+4\cdot4v$$ $$4\cdot4=16$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$4 v^{2} + 16 v - 1140=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 4. $$v^{2} + 4 v - 285=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=4,\qquad C=-285$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(4)^2=16$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-285)=-1140$$ $$D=B^2-4AC=16-(-1140)=1156$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1156}=34$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(4)+34}{2\cdot(1)}=\frac{30}{2}=15$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(4)-34}{2\cdot(1)}=\frac{-38}{2}=-19$$ Значение $v=-19$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=15$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=15$$ $$v_{\text{быстр}}=15+4=19$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{285}{15}=19$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{285}{19}=15$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=19-15=4$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая скорость, поэтому выбираем 15 км/ч. Ответ: $15$ км/ч.