ФИПИ 33B385 — Движение по прямой

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+6. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую скорость. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{108}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{108}{v+6}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. На обратном пути скорость больше, но есть остановка. Общая длительность туда и обратно одинакова. Поэтому само движение обратно должно быть короче ровно на длительность остановки. $$\frac{108}v-\frac{108}{v+6}=3$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+6). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+6, во второй — на v: $$\frac{108(v+6)-108v}{v(v+6)}=3$$ Раскрываем скобки в числителе: $$108(v+6)-108v=108v+108\cdot6-108v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$108\cdot6=648$$ $$\frac{648}{v(v+6)}=3$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$648=3v(v+6)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 3: $$v(v+6)=v^2+6v$$ $$648=3v^2+3\cdot6v$$ $$3\cdot6=18$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$3 v^{2} + 18 v - 648=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 3. $$v^{2} + 6 v - 216=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=6,\qquad C=-216$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(6)^2=36$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-216)=-864$$ $$D=B^2-4AC=36-(-864)=900$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{900}=30$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(6)+30}{2\cdot(1)}=\frac{24}{2}=12$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(6)-30}{2\cdot(1)}=\frac{-36}{2}=-18$$ Значение $v=-18$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=12$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=12$$ $$v_{\text{быстр}}=12+6=18$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{108}{12}=9$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{108}{18}=6$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=9-6=3$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая скорость, поэтому выбираем 12 км/ч. Ответ: $12$ км/ч.