Два велосипедиста одновременно отправились в 90-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 5 км/ч большей, чем скорость второго,
и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: $15$.
Решение
Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем.
Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+5. Обе величины положительны, поэтому v>0.
Нужно найти большую скорость. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 5.
На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость:
$$t=\frac{S}{v}$$
Для меньшей величины время равно:
$$t_{\text{медл}}=\frac{90}{v}$$
Для большей величины время равно:
$$t_{\text{быстр}}=\frac{90}{v+5}$$
Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение.
Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 3 ч.
$$\frac{90}v-\frac{90}{v+5}=3$$
Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель — произведение v(v+5). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+5, во второй — на v:
$$\frac{90(v+5)-90v}{v(v+5)}=3$$
Раскрываем скобки в числителе:
$$90(v+5)-90v=90v+90\cdot5-90v$$
Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение:
$$90\cdot5=450$$
$$\frac{450}{v(v+5)}=3$$
Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него:
$$450=3v(v+5)$$
Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 3:
$$v(v+5)=v^2+5v$$
$$450=3v^2+3\cdot5v$$
$$3\cdot5=15$$
Переносим число влево и получаем квадратное уравнение:
$$3 v^{2} + 15 v - 450=0$$
Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения.
Делим каждый член на ненулевой общий множитель 3.
$$v^{2} + 5 v - 150=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь:
$$A=1,\qquad B=5,\qquad C=-150$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(5)^2=25$$
$$4AC=4\cdot(1)\cdot(-150)=-600$$
$$D=B^2-4AC=25-(-600)=625$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{625}=25$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(5)+25}{2\cdot(1)}=\frac{20}{2}=10$$
$$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(5)-25}{2\cdot(1)}=\frac{-30}{2}=-15$$
Значение $v=-15$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем.
Значение $v=10$ положительно, поэтому подходит.
Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена.
$$v_{\text{медл}}=10$$
$$v_{\text{быстр}}=10+5=15$$
$$t_{\text{медл}}=\frac{90}{10}=9$$
$$t_{\text{быстр}}=\frac{90}{15}=6$$
$$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=9-6=3$$
Разница совпала с условием. Спрашивается большая скорость, поэтому выбираем 15 км/ч.
Ответ: $15$ км/ч.