ФИПИ 641D12 — Движение по прямой

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+2. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую скорость. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{168}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{168}{v+2}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более быстрый теплоход отправился позже, а прибыл одновременно с первым. Значит, он находился в пути на время задержки меньше. $$\frac{168}v-\frac{168}{v+2}=2$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+2). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+2, во второй — на v: $$\frac{168(v+2)-168v}{v(v+2)}=2$$ Раскрываем скобки в числителе: $$168(v+2)-168v=168v+168\cdot2-168v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$168\cdot2=336$$ $$\frac{336}{v(v+2)}=2$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$336=2v(v+2)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 2: $$v(v+2)=v^2+2v$$ $$336=2v^2+2\cdot2v$$ $$2\cdot2=4$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$2 v^{2} + 4 v - 336=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 2. $$v^{2} + 2 v - 168=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=2,\qquad C=-168$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(2)^2=4$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-168)=-672$$ $$D=B^2-4AC=4-(-672)=676$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{676}=26$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)+26}{2\cdot(1)}=\frac{24}{2}=12$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)-26}{2\cdot(1)}=\frac{-28}{2}=-14$$ Значение $v=-14$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=12$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=12$$ $$v_{\text{быстр}}=12+2=14$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{168}{12}=14$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{168}{14}=12$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=14-12=2$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая скорость, поэтому выбираем 12 км/ч. Ответ: $12$ км/ч.