Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 264 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась тем же путём обратно со скоростью
на 2 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 1 час. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A
в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: $22$.
Решение
Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем.
Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+2. Обе величины положительны, поэтому v>0.
Нужно найти меньшую скорость. Сначала определим v; это и будет искомая величина.
На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость:
$$t=\frac{S}{v}$$
Для меньшей величины время равно:
$$t_{\text{медл}}=\frac{264}{v}$$
Для большей величины время равно:
$$t_{\text{быстр}}=\frac{264}{v+2}$$
Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение.
На обратном пути скорость больше, но есть остановка. Общая длительность туда и обратно одинакова. Поэтому само движение обратно должно быть короче ровно на длительность остановки.
$$\frac{264}v-\frac{264}{v+2}=1$$
Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель — произведение v(v+2). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+2, во второй — на v:
$$\frac{264(v+2)-264v}{v(v+2)}=1$$
Раскрываем скобки в числителе:
$$264(v+2)-264v=264v+264\cdot2-264v$$
Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение:
$$264\cdot2=528$$
$$\frac{528}{v(v+2)}=1$$
Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него:
$$528=1v(v+2)$$
Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 1:
$$v(v+2)=v^2+2v$$
$$528=1v^2+1\cdot2v$$
$$1\cdot2=2$$
Переносим число влево и получаем квадратное уравнение:
$$v^{2} + 2 v - 528=0$$
Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения.
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь:
$$A=1,\qquad B=2,\qquad C=-528$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(2)^2=4$$
$$4AC=4\cdot(1)\cdot(-528)=-2112$$
$$D=B^2-4AC=4-(-2112)=2116$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{2116}=46$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)+46}{2\cdot(1)}=\frac{44}{2}=22$$
$$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)-46}{2\cdot(1)}=\frac{-48}{2}=-24$$
Значение $v=-24$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем.
Значение $v=22$ положительно, поэтому подходит.
Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена.
$$v_{\text{медл}}=22$$
$$v_{\text{быстр}}=22+2=24$$
$$t_{\text{медл}}=\frac{264}{22}=12$$
$$t_{\text{быстр}}=\frac{264}{24}=11$$
$$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=12-11=1$$
Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая скорость, поэтому выбираем 22 км/ч.
Ответ: $22$ км/ч.