Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 90 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 6 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: $15$.
Решение
Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем.
Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+6. Обе величины положительны, поэтому v>0.
Нужно найти большую скорость. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 6.
На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость:
$$t=\frac{S}{v}$$
Для меньшей величины время равно:
$$t_{\text{медл}}=\frac{90}{v}$$
Для большей величины время равно:
$$t_{\text{быстр}}=\frac{90}{v+6}$$
Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение.
На обратном пути скорость больше, но есть остановка. Общая длительность туда и обратно одинакова. Поэтому само движение обратно должно быть короче ровно на длительность остановки.
$$\frac{90}v-\frac{90}{v+6}=4$$
Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель — произведение v(v+6). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+6, во второй — на v:
$$\frac{90(v+6)-90v}{v(v+6)}=4$$
Раскрываем скобки в числителе:
$$90(v+6)-90v=90v+90\cdot6-90v$$
Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение:
$$90\cdot6=540$$
$$\frac{540}{v(v+6)}=4$$
Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него:
$$540=4v(v+6)$$
Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 4:
$$v(v+6)=v^2+6v$$
$$540=4v^2+4\cdot6v$$
$$4\cdot6=24$$
Переносим число влево и получаем квадратное уравнение:
$$4 v^{2} + 24 v - 540=0$$
Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения.
Делим каждый член на ненулевой общий множитель 4.
$$v^{2} + 6 v - 135=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь:
$$A=1,\qquad B=6,\qquad C=-135$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(6)^2=36$$
$$4AC=4\cdot(1)\cdot(-135)=-540$$
$$D=B^2-4AC=36-(-540)=576$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{576}=24$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(6)+24}{2\cdot(1)}=\frac{18}{2}=9$$
$$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(6)-24}{2\cdot(1)}=\frac{-30}{2}=-15$$
Значение $v=-15$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем.
Значение $v=9$ положительно, поэтому подходит.
Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена.
$$v_{\text{медл}}=9$$
$$v_{\text{быстр}}=9+6=15$$
$$t_{\text{медл}}=\frac{90}{9}=10$$
$$t_{\text{быстр}}=\frac{90}{15}=6$$
$$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=10-6=4$$
Разница совпала с условием. Спрашивается большая скорость, поэтому выбираем 15 км/ч.
Ответ: $15$ км/ч.