Автомобиль, движущийся со скоростью ${v}_{0}=24 \text{м/с}$, начал торможение
с постоянным ускорением $a=3 {\text{м/с}}^{2}$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S={v}_{0}t-\frac{a{t}^{2}}{2}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал
90 метров. Ответ дайте в секундах.
Ответ: $6$.
Решение
Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие.
Нужно найти время торможения. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 90.
В задаче единица времени уже та, которая нужна в ответе.
Шаг 2. Подставляем данные в формулу.
Исходная зависимость величины от времени:
$$S=v_0t-\frac{at^2}{2}$$
Вместо левой части записываем требуемую величину 90, вместо начальной скорости — 24, вместо ускорения — 3. Неизвестным остаётся только время t:
$$90=24t-\frac{3t^2}{2}$$
Коэффициент при t² получается делением ускорения на 2. При торможении перед этим слагаемым стоит минус.
$$\frac{3}{2}=1{,}5$$
После этой операции формула имеет вид:
$$- \frac{3 t^{2}}{2} + 24 t=90$$
Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней.
Переносим правую часть влево: вычитаем 90 из обеих частей. Получаем уравнение:
$$- \frac{3 t^{2}}{2} + 24 t - 90=0$$
Чтобы убрать дробные коэффициенты, умножаем каждый член и правую часть на 2:
$$- 3 t^{2} + 48 t - 180=0$$
Делим все члены на общий ненулевой множитель -3:
$$t^{2} - 16 t + 60=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь:
$$A=1,\qquad B=-16,\qquad C=60$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(-16)^2=256$$
$$4AC=4\cdot(1)\cdot(60)=240$$
$$D=B^2-4AC=256-(240)=16$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{16}=4$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-16)+4}{2\cdot(1)}=\frac{20}{2}=10$$
$$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-16)-4}{2\cdot(1)}=\frac{12}{2}=6$$
Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел.
Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным.
Кроме того, торможение длится только до остановки. При постоянном замедлении скорость равна:
$$v(t)=24-3t$$
При остановке скорость становится нулевой:
$$24-3t=0$$
Прибавляем 3t к обеим частям и делим на 3:
$$t=24/3=8$$
Поэтому для описанного торможения разрешено только:
$$0\le t\le 8$$
Число $6$ лежит в этом промежутке и подходит.
Число $10$ не лежит в этом промежутке и не подходит.
Шаг 5. Выполняем обратную подстановку.
$$S(6)=- \frac{3 \left(6\right)^{2}}{2} + 24 \left(6\right)$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$24 \cdot 6=144$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$6^{2}=36$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$\left(- \frac{3}{2}\right) 36=-54$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-54 + 144=90$$
Получили 90, как требовалось в условии.
Ответ: $6$ с.