ФИПИ 65356D — Движение по прямой

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+9. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую скорость. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 9. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{220}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{220}{v+9}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 9 ч. $$\frac{220}v-\frac{220}{v+9}=9$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+9). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+9, во второй — на v: $$\frac{220(v+9)-220v}{v(v+9)}=9$$ Раскрываем скобки в числителе: $$220(v+9)-220v=220v+220\cdot9-220v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$220\cdot9=1980$$ $$\frac{1980}{v(v+9)}=9$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$1980=9v(v+9)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 9: $$v(v+9)=v^2+9v$$ $$1980=9v^2+9\cdot9v$$ $$9\cdot9=81$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$9 v^{2} + 81 v - 1980=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 9. $$v^{2} + 9 v - 220=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=9,\qquad C=-220$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(9)^2=81$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-220)=-880$$ $$D=B^2-4AC=81-(-880)=961$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{961}=31$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(9)+31}{2\cdot(1)}=\frac{22}{2}=11$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(9)-31}{2\cdot(1)}=\frac{-40}{2}=-20$$ Значение $v=-20$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=11$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=11$$ $$v_{\text{быстр}}=11+9=20$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{220}{11}=20$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{220}{20}=11$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=20-11=9$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая скорость, поэтому выбираем 20 км/ч. Ответ: $20$ км/ч.