Два велосипедиста одновременно отправились в 80-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 2 км/ч большей, чем скорость второго,
и прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: $8$.
Решение
Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем.
Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+2. Обе величины положительны, поэтому v>0.
Нужно найти меньшую скорость. Сначала определим v; это и будет искомая величина.
На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость:
$$t=\frac{S}{v}$$
Для меньшей величины время равно:
$$t_{\text{медл}}=\frac{80}{v}$$
Для большей величины время равно:
$$t_{\text{быстр}}=\frac{80}{v+2}$$
Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение.
Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 2 ч.
$$\frac{80}v-\frac{80}{v+2}=2$$
Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель — произведение v(v+2). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+2, во второй — на v:
$$\frac{80(v+2)-80v}{v(v+2)}=2$$
Раскрываем скобки в числителе:
$$80(v+2)-80v=80v+80\cdot2-80v$$
Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение:
$$80\cdot2=160$$
$$\frac{160}{v(v+2)}=2$$
Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него:
$$160=2v(v+2)$$
Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 2:
$$v(v+2)=v^2+2v$$
$$160=2v^2+2\cdot2v$$
$$2\cdot2=4$$
Переносим число влево и получаем квадратное уравнение:
$$2 v^{2} + 4 v - 160=0$$
Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения.
Делим каждый член на ненулевой общий множитель 2.
$$v^{2} + 2 v - 80=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь:
$$A=1,\qquad B=2,\qquad C=-80$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(2)^2=4$$
$$4AC=4\cdot(1)\cdot(-80)=-320$$
$$D=B^2-4AC=4-(-320)=324$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{324}=18$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)+18}{2\cdot(1)}=\frac{16}{2}=8$$
$$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)-18}{2\cdot(1)}=\frac{-20}{2}=-10$$
Значение $v=-10$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем.
Значение $v=8$ положительно, поэтому подходит.
Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена.
$$v_{\text{медл}}=8$$
$$v_{\text{быстр}}=8+2=10$$
$$t_{\text{медл}}=\frac{80}{8}=10$$
$$t_{\text{быстр}}=\frac{80}{10}=8$$
$$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=10-8=2$$
Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая скорость, поэтому выбираем 8 км/ч.
Ответ: $8$ км/ч.