Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 288 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 1 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 4 часа. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: $8$.
Решение
Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем.
Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+1. Обе величины положительны, поэтому v>0.
Нужно найти меньшую скорость. Сначала определим v; это и будет искомая величина.
На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость:
$$t=\frac{S}{v}$$
Для меньшей величины время равно:
$$t_{\text{медл}}=\frac{288}{v}$$
Для большей величины время равно:
$$t_{\text{быстр}}=\frac{288}{v+1}$$
Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение.
На обратном пути скорость больше, но есть остановка. Общая длительность туда и обратно одинакова. Поэтому само движение обратно должно быть короче ровно на длительность остановки.
$$\frac{288}v-\frac{288}{v+1}=4$$
Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель — произведение v(v+1). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+1, во второй — на v:
$$\frac{288(v+1)-288v}{v(v+1)}=4$$
Раскрываем скобки в числителе:
$$288(v+1)-288v=288v+288\cdot1-288v$$
Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение:
$$288\cdot1=288$$
$$\frac{288}{v(v+1)}=4$$
Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него:
$$288=4v(v+1)$$
Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 4:
$$v(v+1)=v^2+1v$$
$$288=4v^2+4\cdot1v$$
$$4\cdot1=4$$
Переносим число влево и получаем квадратное уравнение:
$$4 v^{2} + 4 v - 288=0$$
Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения.
Делим каждый член на ненулевой общий множитель 4.
$$v^{2} + v - 72=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь:
$$A=1,\qquad B=1,\qquad C=-72$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(1)^2=1$$
$$4AC=4\cdot(1)\cdot(-72)=-288$$
$$D=B^2-4AC=1-(-288)=289$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{289}=17$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(1)+17}{2\cdot(1)}=\frac{16}{2}=8$$
$$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(1)-17}{2\cdot(1)}=\frac{-18}{2}=-9$$
Значение $v=-9$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем.
Значение $v=8$ положительно, поэтому подходит.
Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена.
$$v_{\text{медл}}=8$$
$$v_{\text{быстр}}=8+1=9$$
$$t_{\text{медл}}=\frac{288}{8}=36$$
$$t_{\text{быстр}}=\frac{288}{9}=32$$
$$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=36-32=4$$
Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая скорость, поэтому выбираем 8 км/ч.
Ответ: $8$ км/ч.