Два велосипедиста одновременно отправились в 190-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 9 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 9 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, прибывшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: $19$.
Решение
Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем.
Обозначим скорость второго, более медленного велосипедиста через $v$, в км/ч. Скорость первого, более быстрого велосипедиста тогда равна $v+9$, в км/ч. Обе величины положительны, поэтому v>0.
Нужно найти большую скорость. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 9.
На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость:
$$t=\frac{S}{v}$$
Время второго, более медленного велосипедиста:
$$t_{\text{медл}}=\frac{190}{v}$$
Время первого, более быстрого велосипедиста:
$$t_{\text{быстр}}=\frac{190}{v+9}$$
Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение.
Более медленный велосипедист тратит на тот же путь больше времени. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 9 ч.
$$\frac{190}v-\frac{190}{v+9}=9$$
Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель — произведение v(v+9). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+9, во второй — на v:
$$\frac{190(v+9)-190v}{v(v+9)}=9$$
Раскрываем скобки в числителе:
$$190(v+9)-190v=190v+190\cdot9-190v$$
Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение:
$$190\cdot9=1710$$
$$\frac{1710}{v(v+9)}=9$$
Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него:
$$1710=9v(v+9)$$
Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 9:
$$v(v+9)=v^2+9v$$
$$1710=9v^2+9\cdot9v$$
$$9\cdot9=81$$
Переносим число влево и получаем квадратное уравнение:
$$9 v^{2} + 81 v - 1710=0$$
Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения.
Делим каждый член на ненулевой общий множитель 9.
$$v^{2} + 9 v - 190=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь:
$$A=1,\qquad B=9,\qquad C=-190$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(9)^2=81$$
$$4AC=4\cdot(1)\cdot(-190)=-760$$
$$D=B^2-4AC=81-(-760)=841$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{841}=29$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(9)+29}{2\cdot(1)}=\frac{20}{2}=10$$
$$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(9)-29}{2\cdot(1)}=\frac{-38}{2}=-19$$
Значение $v=-19$ неположительно, поэтому не может быть скоростью велосипедиста. Его исключаем.
Значение $v=10$ положительно, поэтому подходит.
Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена.
$$v_{\text{медл}}=10$$
$$v_{\text{быстр}}=10+9=19$$
$$t_{\text{медл}}=\frac{190}{10}=19$$
$$t_{\text{быстр}}=\frac{190}{19}=10$$
$$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=19-10=9$$
Разница совпала с условием. Спрашивается большая скорость, поэтому выбираем 19 км/ч.
Ответ: $19$ км/ч.