Заказ на изготовление 198 деталей первый рабочий выполняет на 7 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 7 деталей больше второго?
Ответ: $18$.
Решение
Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем.
Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+7. Обе величины положительны, поэтому v>0.
Нужно найти большую производительность. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 7.
На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность:
$$t=\frac{V}{v}$$
Для меньшей величины время равно:
$$t_{\text{медл}}=\frac{198}{v}$$
Для большей величины время равно:
$$t_{\text{быстр}}=\frac{198}{v+7}$$
Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение.
Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 7 ч.
$$\frac{198}v-\frac{198}{v+7}=7$$
Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель — произведение v(v+7). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+7, во второй — на v:
$$\frac{198(v+7)-198v}{v(v+7)}=7$$
Раскрываем скобки в числителе:
$$198(v+7)-198v=198v+198\cdot7-198v$$
Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение:
$$198\cdot7=1386$$
$$\frac{1386}{v(v+7)}=7$$
Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него:
$$1386=7v(v+7)$$
Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 7:
$$v(v+7)=v^2+7v$$
$$1386=7v^2+7\cdot7v$$
$$7\cdot7=49$$
Переносим число влево и получаем квадратное уравнение:
$$7 v^{2} + 49 v - 1386=0$$
Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения.
Делим каждый член на ненулевой общий множитель 7.
$$v^{2} + 7 v - 198=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь:
$$A=1,\qquad B=7,\qquad C=-198$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(7)^2=49$$
$$4AC=4\cdot(1)\cdot(-198)=-792$$
$$D=B^2-4AC=49-(-792)=841$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{841}=29$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(7)+29}{2\cdot(1)}=\frac{22}{2}=11$$
$$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(7)-29}{2\cdot(1)}=\frac{-36}{2}=-18$$
Значение $v=-18$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем.
Значение $v=11$ положительно, поэтому подходит.
Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена.
$$v_{\text{медл}}=11$$
$$v_{\text{быстр}}=11+7=18$$
$$t_{\text{медл}}=\frac{198}{11}=18$$
$$t_{\text{быстр}}=\frac{198}{18}=11$$
$$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=18-11=7$$
Разница совпала с условием. Спрашивается большая производительность, поэтому выбираем 18 деталей/ч.
Ответ: $18$ деталей/ч.