Один мастер может выполнить заказ за 42 часа, а другой — за 21 час. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?
Ответ: $14$.
Решение
Шаг 1. Переходим от времени к доле работы за единицу времени.
Всю работу принимаем за 1. Если целую работу выполняют за T единиц времени, за одну такую единицу выполняют 1/T работы. Это и есть производительность.
Время в условии измеряется в часах. Будем всё решение использовать эту единицу.
Для известного участника №1 производительность равна:
$$p_1=\frac1{42}$$
Для известного участника №2 производительность равна:
$$p_2=\frac1{21}$$
Шаг 2. Находим искомую производительность.
Совместная производительность — сумма производительностей участников, потому что их выполненные части складываются. Здесь нужно сложить все найденные доли.
$$p=\frac1{42}+\frac1{21}$$
Приводим дроби к общему знаменателю 42. Для каждой дроби домножаем числитель и знаменатель на недостающий множитель:
$$\frac1{42}=\frac{1\cdot1}{42\cdot1}=\frac{1}{42}$$
$$\frac1{21}=\frac{1\cdot2}{21\cdot2}=\frac{2}{42}$$
Теперь складываем или вычитаем числители, сохраняя общий знаменатель:
$$p=\frac{1+2}{42}=\frac{3}{42}=\frac{1}{14}$$
Шаг 3. Возвращаемся от производительности ко времени. Чтобы выполнить всю единицу работы, делим её на долю работы за одну единицу времени. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:
$$T=\frac1p=1:\frac{1}{14}=1\cdot\frac{14}{1}=14$$
Это время совместной работы всех участников.
Проверка смысла: полученное время меньше времени каждого участника по отдельности. Вместе они выполняют работу быстрее.
Ответ: $14$ ч.