ФИПИ 1E4FB8 — Работа и производительность

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+6. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую производительность. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 6. На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность: $$t=\frac{V}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{112}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{112}{v+6}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 6 мин. $$\frac{112}v-\frac{112}{v+6}=6$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+6). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+6, во второй — на v: $$\frac{112(v+6)-112v}{v(v+6)}=6$$ Раскрываем скобки в числителе: $$112(v+6)-112v=112v+112\cdot6-112v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$112\cdot6=672$$ $$\frac{672}{v(v+6)}=6$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$672=6v(v+6)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 6: $$v(v+6)=v^2+6v$$ $$672=6v^2+6\cdot6v$$ $$6\cdot6=36$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$6 v^{2} + 36 v - 672=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 6. $$v^{2} + 6 v - 112=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=6,\qquad C=-112$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(6)^2=36$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-112)=-448$$ $$D=B^2-4AC=36-(-448)=484$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{484}=22$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(6)+22}{2\cdot(1)}=\frac{16}{2}=8$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(6)-22}{2\cdot(1)}=\frac{-28}{2}=-14$$ Значение $v=-14$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=8$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=8$$ $$v_{\text{быстр}}=8+6=14$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{112}{8}=14$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{112}{14}=8$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=14-8=6$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая производительность, поэтому выбираем 14 л/мин. Ответ: $14$ л/мин.