Первый насос наполняет бак за 11 минут, второй — за 15 минут, а третий — за 1 час 50 минут. За сколько минут наполнят этот бак три насоса, работая одновременно?
Ответ: $6$.
Решение
Шаг 1. Переходим от времени к доле работы за единицу времени.
Всю работу принимаем за 1. Если целую работу выполняют за T единиц времени, за одну такую единицу выполняют 1/T работы. Это и есть производительность.
Время в условии измеряется в минутах. Будем всё решение использовать эту единицу.
Третий насос работает 1 ч 50 мин. Переводим это время в минуты:
$$1\cdot60+50=110$$
Для известного участника №1 производительность равна:
$$p_1=\frac1{11}$$
Для известного участника №2 производительность равна:
$$p_2=\frac1{15}$$
Для известного участника №3 производительность равна:
$$p_3=\frac1{110}$$
Шаг 2. Находим искомую производительность.
Совместная производительность — сумма производительностей участников, потому что их выполненные части складываются. Здесь нужно сложить все найденные доли.
$$p=\frac1{11}+\frac1{15}+\frac1{110}$$
Приводим дроби к общему знаменателю 330. Для каждой дроби домножаем числитель и знаменатель на недостающий множитель:
$$\frac1{11}=\frac{1\cdot30}{11\cdot30}=\frac{30}{330}$$
$$\frac1{15}=\frac{1\cdot22}{15\cdot22}=\frac{22}{330}$$
$$\frac1{110}=\frac{1\cdot3}{110\cdot3}=\frac{3}{330}$$
Теперь складываем или вычитаем числители, сохраняя общий знаменатель:
$$p=\frac{30+22+3}{330}=\frac{55}{330}=\frac{1}{6}$$
Шаг 3. Возвращаемся от производительности ко времени. Чтобы выполнить всю единицу работы, делим её на долю работы за одну единицу времени. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:
$$T=\frac1p=1:\frac{1}{6}=1\cdot\frac{6}{1}=6$$
Это время совместной работы всех участников.
Проверка смысла: полученное время меньше времени каждого участника по отдельности. Вместе они выполняют работу быстрее.
Ответ: $6$ мин.