Аня и Таня, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Таня — за 36 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Аня?
Ответ: $72$.
Решение
Шаг 1. Переходим от времени к доле работы за единицу времени.
Всю работу принимаем за 1. Если целую работу выполняют за T единиц времени, за одну такую единицу выполняют 1/T работы. Это и есть производительность.
Время в условии измеряется в минутах. Будем всё решение использовать эту единицу.
Для совместной работы производительность равна:
$$p_1=\frac1{24}$$
Для известного участника №2 производительность равна:
$$p_2=\frac1{36}$$
Шаг 2. Находим искомую производительность.
Совместная производительность — сумма производительностей участников, потому что их выполненные части складываются. Здесь общая производительность уже известна. Поэтому из неё вычитаем производительность известного участника, чтобы получить производительность второго.
$$p=\frac1{24}-\frac1{36}$$
Приводим дроби к общему знаменателю 72. Для каждой дроби домножаем числитель и знаменатель на недостающий множитель:
$$\frac1{24}=\frac{1\cdot3}{24\cdot3}=\frac{3}{72}$$
$$\frac1{36}=\frac{1\cdot2}{36\cdot2}=\frac{2}{72}$$
Теперь складываем или вычитаем числители, сохраняя общий знаменатель:
$$p=\frac{3-2}{72}=\frac{1}{72}=\frac{1}{72}$$
Шаг 3. Возвращаемся от производительности ко времени. Чтобы выполнить всю единицу работы, делим её на долю работы за одну единицу времени. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:
$$T=\frac1p=1:\frac{1}{72}=1\cdot\frac{72}{1}=72$$
Это время работы только искомого участника.
Проверка: производительности двух участников снова дают известную общую производительность:
$$\frac{1}{72}+\frac{1}{36}=\frac{1}{24}$$
Ответ: $72$ мин.