Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 104 литра она заполняет на 5 минут дольше, чем вторая труба?
Ответ: $8$.
Решение
Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем.
Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+5. Обе величины положительны, поэтому v>0.
Нужно найти меньшую производительность. Сначала определим v; это и будет искомая величина.
На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность:
$$t=\frac{V}{v}$$
Для меньшей величины время равно:
$$t_{\text{медл}}=\frac{104}{v}$$
Для большей величины время равно:
$$t_{\text{быстр}}=\frac{104}{v+5}$$
Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение.
Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 5 мин.
$$\frac{104}v-\frac{104}{v+5}=5$$
Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель — произведение v(v+5). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+5, во второй — на v:
$$\frac{104(v+5)-104v}{v(v+5)}=5$$
Раскрываем скобки в числителе:
$$104(v+5)-104v=104v+104\cdot5-104v$$
Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение:
$$104\cdot5=520$$
$$\frac{520}{v(v+5)}=5$$
Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него:
$$520=5v(v+5)$$
Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 5:
$$v(v+5)=v^2+5v$$
$$520=5v^2+5\cdot5v$$
$$5\cdot5=25$$
Переносим число влево и получаем квадратное уравнение:
$$5 v^{2} + 25 v - 520=0$$
Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения.
Делим каждый член на ненулевой общий множитель 5.
$$v^{2} + 5 v - 104=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь:
$$A=1,\qquad B=5,\qquad C=-104$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(5)^2=25$$
$$4AC=4\cdot(1)\cdot(-104)=-416$$
$$D=B^2-4AC=25-(-416)=441$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{441}=21$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(5)+21}{2\cdot(1)}=\frac{16}{2}=8$$
$$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(5)-21}{2\cdot(1)}=\frac{-26}{2}=-13$$
Значение $v=-13$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем.
Значение $v=8$ положительно, поэтому подходит.
Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена.
$$v_{\text{медл}}=8$$
$$v_{\text{быстр}}=8+5=13$$
$$t_{\text{медл}}=\frac{104}{8}=13$$
$$t_{\text{быстр}}=\frac{104}{13}=8$$
$$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=13-8=5$$
Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая производительность, поэтому выбираем 8 л/мин.
Ответ: $8$ л/мин.