ФИПИ 17A0D7 — Движение по воде

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 3$$ $$v_{\text{против}}=v - 3$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>3$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Из общего времени вычитаем стоянку. Во время стоянки судно не проходит путь: $$54-6=48$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{567}{v + 3}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{567}{v - 3}$$ Их времена складываются: $$\frac{567}{v + 3}+\frac{567}{v - 3}=48$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 3)(v - 3)=v^2-v\cdot3+3v-3^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$3^2=3\cdot3=9$$ $$(v + 3)(v - 3)=v^{2} - 9$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{567(v - 3)+567(v + 3)}{v^{2} - 9}=48$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$567(v - 3)+567(v + 3)=567v-567\cdot3+567v+567\cdot3$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$567\cdot3=1701$$ $$567v-567\cdot3+567v+567\cdot3=1134 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$1134 v=48(v^{2} - 9)$$ Раскрываем скобки справа: $$1134 v=48v^2-48\cdot9$$ $$48\cdot9=432$$ $$1134 v=48 v^{2} - 432$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$48 v^{2} - 1134 v - 432=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 6. $$8 v^{2} - 189 v - 72=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=8,\qquad B=-189,\qquad C=-72$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-189)^2=35721$$ $$4AC=4\cdot(8)\cdot(-72)=-2304$$ $$D=B^2-4AC=35721-(-2304)=38025$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{38025}=195$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-189)+195}{2\cdot(8)}=\frac{384}{16}=24$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-189)-195}{2\cdot(8)}=\frac{-6}{16}=- \frac{3}{8}$$ Корень $v=- \frac{3}{8}$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=24$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=24+3=27$$ $$v_{\text{против}}=24-3=21$$ $$t_{\text{по}}=\frac{567}{27}=21$$ $$t_{\text{против}}=\frac{567}{21}=27$$ $$21+27=48$$ Возвращаем время стоянки: $$48+6=54$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $24$ км/ч.