ФИПИ 4BA055 — Движение по воде

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 4$$ $$v_{\text{против}}=v - 4$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>4$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Плот движется только с течением, поэтому его скорость равна 4 км/ч. По пройденному плотом пути находим время от его отправления до возвращения яхты: $$t_{\text{плот}}=\frac{92}{4}=23$$ Яхта отправилась на 3 ч позже, следовательно, время её рейса: $$23-3=20$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{192}{v + 4}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{192}{v - 4}$$ Их времена складываются: $$\frac{192}{v + 4}+\frac{192}{v - 4}=20$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 4)(v - 4)=v^2-v\cdot4+4v-4^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$4^2=4\cdot4=16$$ $$(v + 4)(v - 4)=v^{2} - 16$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{192(v - 4)+192(v + 4)}{v^{2} - 16}=20$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$192(v - 4)+192(v + 4)=192v-192\cdot4+192v+192\cdot4$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$192\cdot4=768$$ $$192v-192\cdot4+192v+192\cdot4=384 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$384 v=20(v^{2} - 16)$$ Раскрываем скобки справа: $$384 v=20v^2-20\cdot16$$ $$20\cdot16=320$$ $$384 v=20 v^{2} - 320$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$20 v^{2} - 384 v - 320=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 4. $$5 v^{2} - 96 v - 80=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=5,\qquad B=-96,\qquad C=-80$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-96)^2=9216$$ $$4AC=4\cdot(5)\cdot(-80)=-1600$$ $$D=B^2-4AC=9216-(-1600)=10816$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{10816}=104$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-96)+104}{2\cdot(5)}=\frac{200}{10}=20$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-96)-104}{2\cdot(5)}=\frac{-8}{10}=- \frac{4}{5}$$ Корень $v=- \frac{4}{5}$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=20$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=20+4=24$$ $$v_{\text{против}}=20-4=16$$ $$t_{\text{по}}=\frac{192}{24}=8$$ $$t_{\text{против}}=\frac{192}{16}=12$$ $$8+12=20$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $20$ км/ч.