ФИПИ 5EB1A5 — Движение по воде

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти скорость течения. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 8$$ $$v_{\text{против}}=8 - v$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$0<v<8$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 8 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{48}{8 - v}-\frac{48}{v + 8}=8$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 8)(8 - v)=8^2-8v+8v-v^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$8^2=8\cdot8=64$$ $$(v + 8)(8 - v)=64 - v^{2}$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{48(v + 8)-48(8 - v)}{64 - v^{2}}=8$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$48(v + 8)-48(8 - v)=48\cdot8+48v-48\cdot8+48v$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$48\cdot8=384$$ $$48\cdot8+48v-48\cdot8+48v=96 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$96 v=8(64 - v^{2})$$ Раскрываем скобки справа: $$96 v=8\cdot64-8v^2$$ $$8\cdot64=512$$ $$96 v=512 - 8 v^{2}$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$- 8 v^{2} - 96 v + 512=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель -8. $$v^{2} + 12 v - 64=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=12,\qquad C=-64$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(12)^2=144$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-64)=-256$$ $$D=B^2-4AC=144-(-256)=400$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{400}=20$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(12)+20}{2\cdot(1)}=\frac{8}{2}=4$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(12)-20}{2\cdot(1)}=\frac{-32}{2}=-16$$ Корень $v=-16$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=4$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=8+4=12$$ $$v_{\text{против}}=8-4=4$$ $$t_{\text{по}}=\frac{48}{12}=4$$ $$t_{\text{против}}=\frac{48}{4}=12$$ $$12-4=8$$ Все данные времени совпали. Мы нашли скорость течения, как спрашивается в условии. Ответ: $4$ км/ч.