ФИПИ B4C164 — Движение по воде

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти скорость течения. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 25$$ $$v_{\text{против}}=25 - v$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$0<v<25$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Из общего времени вычитаем стоянку. Во время стоянки судно не проходит путь: $$51-1=50$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{609}{v + 25}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{609}{25 - v}$$ Их времена складываются: $$\frac{609}{v + 25}+\frac{609}{25 - v}=50$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 25)(25 - v)=25^2-25v+25v-v^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$25^2=25\cdot25=625$$ $$(v + 25)(25 - v)=625 - v^{2}$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{609(25 - v)+609(v + 25)}{625 - v^{2}}=50$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$609(25 - v)+609(v + 25)=609\cdot25-609v+609\cdot25+609v$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$609\cdot25=15225$$ $$609\cdot25-609v+609\cdot25+609v=30450$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$30450=50(625 - v^{2})$$ Раскрываем скобки справа: $$30450=50\cdot625-50v^2$$ $$50\cdot625=31250$$ $$30450=31250 - 50 v^{2}$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$800 - 50 v^{2}=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель -50. $$v^{2} - 16=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=0,\qquad C=-16$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(0)^2=0$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-16)=-64$$ $$D=B^2-4AC=0-(-64)=64$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{64}=8$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+8}{2\cdot(1)}=\frac{8}{2}=4$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-8}{2\cdot(1)}=\frac{-8}{2}=-4$$ Корень $v=-4$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=4$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=25+4=29$$ $$v_{\text{против}}=25-4=21$$ $$t_{\text{по}}=\frac{609}{29}=21$$ $$t_{\text{против}}=\frac{609}{21}=29$$ $$21+29=50$$ Возвращаем время стоянки: $$50+1=51$$ Все данные времени совпали. Мы нашли скорость течения, как спрашивается в условии. Ответ: $4$ км/ч.