ФИПИ A08F25 — Движение по воде

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 2$$ $$v_{\text{против}}=v - 2$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>2$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 4 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{117}{v - 2}-\frac{117}{v + 2}=4$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 2)(v - 2)=v^2-v\cdot2+2v-2^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$2^2=2\cdot2=4$$ $$(v + 2)(v - 2)=v^{2} - 4$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{117(v + 2)-117(v - 2)}{v^{2} - 4}=4$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$117(v + 2)-117(v - 2)=117v+117\cdot2-117v+117\cdot2$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$117\cdot2=234$$ $$117v+117\cdot2-117v+117\cdot2=468$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$468=4(v^{2} - 4)$$ Раскрываем скобки справа: $$468=4v^2-4\cdot4$$ $$4\cdot4=16$$ $$468=4 v^{2} - 16$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$4 v^{2} - 484=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 4. $$v^{2} - 121=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=0,\qquad C=-121$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(0)^2=0$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-121)=-484$$ $$D=B^2-4AC=0-(-484)=484$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{484}=22$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+22}{2\cdot(1)}=\frac{22}{2}=11$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-22}{2\cdot(1)}=\frac{-22}{2}=-11$$ Корень $v=-11$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=11$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=11+2=13$$ $$v_{\text{против}}=11-2=9$$ $$t_{\text{по}}=\frac{117}{13}=9$$ $$t_{\text{против}}=\frac{117}{9}=13$$ $$13-9=4$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $11$ км/ч.