Имеется два сплава. Первый сплав содержит 60 % меди, второй $—$ 10 % меди. Масса второго сплава больше массы первого на 90 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 20 % меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Ответ: $150$ кг
Решение
Шаг 1. Обозначаем массы и переводим проценты в доли.
Пусть масса меньшего сплава равна v кг. Тогда масса большего равна v+90 кг. При смешивании складываются и массы сплавов, и содержащаяся в них медь.
$$m_1=v$$
$$m_2=v + 90$$
$$m_{\text{смесь}}=2 v + 90$$
Процент — одна сотая часть. Поэтому доли меди равны:
$$60\%=\frac{60}{100}=0{,}6$$
$$10\%=\frac{10}{100}=0{,}1$$
$$20\%=\frac{20}{100}=0{,}2$$
Шаг 2. Записываем сохранение массы меди. Масса меди в каждом сплаве равна доле меди, умноженной на массу сплава. Сумма этих двух масс равна массе меди в смеси:
$$0{,}6(v)+0{,}1(v + 90)=0{,}2(2 v + 90)$$
Шаг 3. Раскрываем каждую скобку: умножаем долю на оба слагаемых.
$$0{,}6(v)=0{,}6\cdot1v+0{,}6\cdot0=\frac{3 v}{5}$$
$$0{,}1(v + 90)=0{,}1\cdot1v+0{,}1\cdot90=\frac{v}{10} + 9$$
$$0{,}2(2 v + 90)=0{,}2\cdot2v+0{,}2\cdot90=\frac{2 v}{5} + 18$$
Складываем слагаемые в левой части:
$$\frac{7 v}{10} + 9=\frac{2 v}{5} + 18$$
Переносим все слагаемые с v влево, все числа вправо:
$$\frac{3 v}{10}=9$$
Делим обе части на ненулевой коэффициент при v:
$$v=\frac{9}{\frac{3}{10}}=30$$
Шаг 4. Находим обе массы и массу всего третьего сплава:
$$m_1=30=30$$
$$m_2=30+90=120$$
$$m_{\text{смесь}}=30+120=150$$
Проверяем массу меди до и после смешивания:
$$0{,}6\cdot30+0{,}1\cdot120=30$$
$$0{,}2\cdot150=30$$
Обе массы меди равны, все массы положительны. Спрашивается общая масса смеси.
Ответ: $150$ кг.