Имеется два сосуда. Первый содержит 40 кг, а второй $—$ 25 кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 30 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде?
Ответ: $10$.
Решение
Шаг 1. Обозначаем неизвестные концентрации через p и q процентов.
Это проценты, поэтому доли кислоты равны p/100 и q/100. При смешивании масса кислоты сохраняется.
Шаг 2. Используем условие о равных массах. Возьмём по m кг из каждого сосуда. Тогда кислоты будет mp/100+mq/100, а общая масса — 2m кг. Доля кислоты в смеси равна 36/100:
$$\frac{mp/100+mq/100}{2m}=\frac{36}{100}$$
Умножаем обе части на 100 и сокращаем общий положительный множитель m:
$$\frac{p+q}{2}=36$$
Умножаем на 2 и выражаем q:
$$p+q=36\cdot2=72$$
$$q=72-p$$
Шаг 3. Используем условие о смешивании всех 40 и 25 кг. Общая масса:
$$40+25=65$$
Масса кислоты в смеси равна 30% от 65 кг:
$$m_{\text{кислоты}}=\frac{30}{100}\cdot65$$
Эта же масса получается сложением кислоты из двух сосудов:
$$40\frac p{100}+25\frac q{100}=65\frac{30}{100}$$
Умножаем все члены на 100, чтобы убрать знаменатели:
$$40p+25q=65\cdot30=1950$$
Шаг 4. Подставляем q=72−p и раскрываем скобки:
$$40p+25(72-p)=1950$$
$$40p+25\cdot72-25p=1950$$
$$25\cdot72=1800$$
$$15p+1800=1950$$
Вычитаем 1800 из обеих частей и делим на 15:
$$15p=1950-1800=150$$
$$p=\frac{150}{15}=10$$
Шаг 5. Проверяем обе концентрации:
$$q=72-10=62$$
$$\frac{10+62}{2}=36$$
$$40\cdot0{,}10+25\cdot0{,}62=4+15{,}5=19{,}5$$
$$\frac{19{,}5}{65}=0{,}30=30\%$$
Оба условия выполнены. Вопрос относится к первому сосуду, то есть к p.
Ответ: $10$ %.