Имеется два сплава. Первый сплав содержит 40% меди, второй $—$ 25% меди. Масса первого сплава больше массы второго на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Ответ: $30$.
Решение
Шаг 1. Обозначаем массы и переводим проценты в доли.
Пусть масса меньшего сплава равна v кг. Тогда масса большего равна v+10 кг. При смешивании складываются и массы сплавов, и содержащаяся в них медь.
$$m_1=v + 10$$
$$m_2=v$$
$$m_{\text{смесь}}=2 v + 10$$
Процент — одна сотая часть. Поэтому доли меди равны:
$$40\%=\frac{40}{100}=0{,}4$$
$$25\%=\frac{25}{100}=0{,}25$$
$$35\%=\frac{35}{100}=0{,}35$$
Шаг 2. Записываем сохранение массы меди. Масса меди в каждом сплаве равна доле меди, умноженной на массу сплава. Сумма этих двух масс равна массе меди в смеси:
$$0{,}4(v + 10)+0{,}25(v)=0{,}35(2 v + 10)$$
Шаг 3. Раскрываем каждую скобку: умножаем долю на оба слагаемых.
$$0{,}4(v + 10)=0{,}4\cdot1v+0{,}4\cdot10=\frac{2 v}{5} + 4$$
$$0{,}25(v)=0{,}25\cdot1v+0{,}25\cdot0=\frac{v}{4}$$
$$0{,}35(2 v + 10)=0{,}35\cdot2v+0{,}35\cdot10=\frac{7 v}{10} + \frac{7}{2}$$
Складываем слагаемые в левой части:
$$\frac{13 v}{20} + 4=\frac{7 v}{10} + \frac{7}{2}$$
Переносим все слагаемые с v влево, все числа вправо:
$$- \frac{v}{20}=- \frac{1}{2}$$
Делим обе части на ненулевой коэффициент при v:
$$v=\frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{1}{20}}=10$$
Шаг 4. Находим обе массы и массу всего третьего сплава:
$$m_1=10+10=20$$
$$m_2=10=10$$
$$m_{\text{смесь}}=20+10=30$$
Проверяем массу меди до и после смешивания:
$$0{,}4\cdot20+0{,}25\cdot10=10{,}5$$
$$0{,}35\cdot30=10{,}5$$
Обе массы меди равны, все массы положительны. Спрашивается общая масса смеси.
Ответ: $30$ кг.