Имеется два сплава. Первый сплав содержит 45% меди, второй $—$ 20% меди. Масса первого сплава больше массы второго на 30 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 40% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Ответ: $50$.
Решение
Шаг 1. Обозначаем массы и переводим проценты в доли.
Пусть масса меньшего сплава равна v кг. Тогда масса большего равна v+30 кг. При смешивании складываются и массы сплавов, и содержащаяся в них медь.
$$m_1=v + 30$$
$$m_2=v$$
$$m_{\text{смесь}}=2 v + 30$$
Процент — одна сотая часть. Поэтому доли меди равны:
$$45\%=\frac{45}{100}=0{,}45$$
$$20\%=\frac{20}{100}=0{,}2$$
$$40\%=\frac{40}{100}=0{,}4$$
Шаг 2. Записываем сохранение массы меди. Масса меди в каждом сплаве равна доле меди, умноженной на массу сплава. Сумма этих двух масс равна массе меди в смеси:
$$0{,}45(v + 30)+0{,}2(v)=0{,}4(2 v + 30)$$
Шаг 3. Раскрываем каждую скобку: умножаем долю на оба слагаемых.
$$0{,}45(v + 30)=0{,}45\cdot1v+0{,}45\cdot30=\frac{9 v}{20} + \frac{27}{2}$$
$$0{,}2(v)=0{,}2\cdot1v+0{,}2\cdot0=\frac{v}{5}$$
$$0{,}4(2 v + 30)=0{,}4\cdot2v+0{,}4\cdot30=\frac{4 v}{5} + 12$$
Складываем слагаемые в левой части:
$$\frac{13 v}{20} + \frac{27}{2}=\frac{4 v}{5} + 12$$
Переносим все слагаемые с v влево, все числа вправо:
$$- \frac{3 v}{20}=- \frac{3}{2}$$
Делим обе части на ненулевой коэффициент при v:
$$v=\frac{- \frac{3}{2}}{- \frac{3}{20}}=10$$
Шаг 4. Находим обе массы и массу всего третьего сплава:
$$m_1=10+30=40$$
$$m_2=10=10$$
$$m_{\text{смесь}}=40+10=50$$
Проверяем массу меди до и после смешивания:
$$0{,}45\cdot40+0{,}2\cdot10=20$$
$$0{,}4\cdot50=20$$
Обе массы меди равны, все массы положительны. Спрашивается общая масса смеси.
Ответ: $50$ кг.