Логарифмические выражения — задание №7 ЕГЭ по математике

У логарифмов одинаковое основание, а оба аргумента положительны. Объединим два логарифма по правилу суммы: $$\log_bu+\log_bv=\log_b(uv)$$ Подставляем именно аргументы логарифмов в правую часть правила: $$\log_{2}(6{,}4\cdot10)$$ Вычислим новый аргумент: $$6{,}4\cdot10=64$$ Логарифм — показатель степени: нужно понять, в какую степень возвести основание, чтобы получить аргумент. $$2^{6}=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=64$$ $$\log_{2}(64)=6$$ Ответ: $6$.

У логарифмов одинаковое основание, а оба аргумента положительны. Объединим два логарифма по правилу разности: $$\log_bu-\log_bv=\log_b(\frac uv)$$ Подставляем именно аргументы логарифмов в правую часть правила: $$\log_{3}(162/2)$$ Вычислим новый аргумент: $$162/2=81$$ Логарифм — показатель степени: нужно понять, в какую степень возвести основание, чтобы получить аргумент. $$3^{4}=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$$ $$\log_{3}(81)=4$$ Ответ: $4$.

Основание логарифма само является корнем. Поэтому удобно обозначить значение логарифма буквой t и воспользоваться его определением: $$t=\log_{\sqrt[6]{13}}13$$ $$(\sqrt[6]{13})^t=13$$ Запишем корень дробной степенью. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $$(13^{1/6})^t=13^{t/6}$$ $$13^{t/6}=13^1$$ Основания одинаковы и больше 1, поэтому показатели равны: $$\frac t6=1$$ Умножим обе части на 6: $$t=1\cdot6=6$$ В исходном выражении логарифм ещё умножается на 6: $$6t=6\cdot6=36$$ Ответ: $36$.

В числителе и знаменателе логарифмы с одним основанием. Выразим 32 как степень аргумента знаменателя. Последовательно умножим двойку на себя: $$2^{2}=2\cdot2=4$$ $$2^{3}=4\cdot2=8$$ $$2^{4}=8\cdot2=16$$ $$2^{5}=16\cdot2=32$$ $$32=2^5$$ Используем правило: показатель степени аргумента можно вынести множителем перед логарифмом: $$\log_7(2^5)=5\log_72$$ Подставим это выражение в числитель: $$\frac{\log_732}{\log_72}=\frac{5\log_72}{\log_72}$$ Логарифм числа 2 не равен нулю: нулю равен логарифм только единицы. Поэтому можем сократить одинаковые множители: $$\frac{5\log_72}{\log_72}=5$$ Ответ: $5$.

Сначала приведём дробь из логарифмов к одному логарифму. По формуле перехода к новому основанию: $$\frac{\log_928}{\log_97}=\log_728$$ Почему так можно: если 7^t=28, то после логарифмирования по основанию 9 получаем t·log₉7=log₉28, откуда t равен данной дроби. Знаменатель ненулевой, поскольку 7 не равно 1. Теперь в выражении складываются логарифмы с основанием 7. Заменим сумму логарифмом произведения положительных аргументов: $$\log_728+\log_7\frac74=\log_7\left(28\cdot\frac74\right)$$ Вычислим произведение под логарифмом по действиям: $$28:4=7$$ $$7\cdot7=49$$ Число 49 — квадрат основания 7, поэтому: $$49=7^2$$ $$\log_749=2$$ Ответ: $2$.

У логарифмов одинаковое основание, а оба аргумента положительны. Объединим два логарифма по правилу разности: $$\log_bu-\log_bv=\log_b(\frac uv)$$ Подставляем именно аргументы логарифмов в правую часть правила: $$\log_{0{,}6}(50/18)$$ Вычислим новый аргумент: $$50/18=\frac{25}{9}$$ Логарифм — показатель степени: нужно понять, в какую степень возвести основание, чтобы получить аргумент. Используем правило отрицательной степени: она обращает основание в дроби. $$(\frac{3}{5})^{-2}=(\frac{5}{3})^{2}=\frac{25}{9}$$ $$\log_{0{,}6}(\frac{25}{9})=-2$$ Ответ: $-2$.

У логарифмов одинаковое основание, а оба аргумента положительны. Объединим два логарифма по правилу суммы: $$\log_bu+\log_bv=\log_b(uv)$$ Подставляем именно аргументы логарифмов в правую часть правила: $$\log_{2}(6{,}4\cdot5)$$ Вычислим новый аргумент: $$6{,}4\cdot5=32$$ Логарифм — показатель степени: нужно понять, в какую степень возвести основание, чтобы получить аргумент. $$2^{5}=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$ $$\log_{2}(32)=5$$ Ответ: $5$.

В выражении нужно сначала вычислить логарифм корня, а затем умножить результат на коэффициент. Представим корень как степень: $$\sqrt[3]{7}=7^{1/3}$$ По определению логарифм показывает, в какую степень возводится основание. Если аргумент уже записан степенью этого основания, ответом служит её показатель: $$\log_{7}(7^{1/3})=\frac1{3}$$ Теперь учитываем коэффициент перед логарифмом: $$6\cdot\frac1{3}=\frac{6}{3}=2$$ Ответ: $2$.

У логарифмов одинаковое основание, а оба аргумента положительны. Объединим два логарифма по правилу разности: $$\log_bu-\log_bv=\log_b(\frac uv)$$ Подставляем именно аргументы логарифмов в правую часть правила: $$\log_{2}(56/7)$$ Вычислим новый аргумент: $$56/7=8$$ Логарифм — показатель степени: нужно понять, в какую степень возвести основание, чтобы получить аргумент. $$2^{3}=2\cdot2\cdot2=8$$ $$\log_{2}(8)=3$$ Ответ: $3$.

У логарифмов одинаковое основание, а оба аргумента положительны. Объединим два логарифма по правилу разности: $$\log_bu-\log_bv=\log_b(\frac uv)$$ Подставляем именно аргументы логарифмов в правую часть правила: $$\log_{0{,}7}(10/7)$$ Вычислим новый аргумент: $$10/7=\frac{10}{7}$$ Логарифм — показатель степени: нужно понять, в какую степень возвести основание, чтобы получить аргумент. Используем правило отрицательной степени: она обращает основание в дроби. $$(\frac{7}{10})^{-1}=(\frac{10}{7})^{1}=\frac{10}{7}$$ $$\log_{0{,}7}(\frac{10}{7})=-1$$ Ответ: $-1$.

У логарифмов одинаковое основание, а оба аргумента положительны. Объединим два логарифма по правилу разности: $$\log_bu-\log_bv=\log_b(\frac uv)$$ Подставляем именно аргументы логарифмов в правую часть правила: $$\log_{2}(96/3)$$ Вычислим новый аргумент: $$96/3=32$$ Логарифм — показатель степени: нужно понять, в какую степень возвести основание, чтобы получить аргумент. $$2^{5}=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$ $$\log_{2}(32)=5$$ Ответ: $5$.

Нужно сравнить два логарифма одного числа при разных основаниях. Заметим, что одно основание — квадрат другого: $$36=6^2$$ Обозначим знаменатель через t. По определению логарифма: $$t=\log_{36}17$$ $$36^t=17$$ Заменим 36 квадратом 6 и перемножим показатели: $$(6^2)^t=6^{2t}=17$$ Это равенство означает, что логарифм 17 по основанию 6 равен 2t: $$\log_617=2t$$ В исходной дроби числитель равен 2t, знаменатель — t. Причём t не равен нулю, поскольку аргумент 17 не равен 1. Сокращаем: $$\frac{2t}{t}=2$$ Ответ: $2$.

В выражении нужно сначала вычислить логарифм корня, а затем умножить результат на коэффициент. Представим корень как степень: $$\sqrt[4]{5}=5^{1/4}$$ По определению логарифм показывает, в какую степень возводится основание. Если аргумент уже записан степенью этого основания, ответом служит её показатель: $$\log_{5}(5^{1/4})=\frac1{4}$$ Теперь учитываем коэффициент перед логарифмом: $$8\cdot\frac1{4}=\frac{8}{4}=2$$ Ответ: $2$.