Найдите значение выражения $\frac{{\log }_{9}28}{{\log }_{9}7}+{\log }_{7}\frac{7}{4}$.
Ответ: $2$.
Решение
Сначала приведём дробь из логарифмов к одному логарифму. По формуле перехода к новому основанию:
$$\frac{\log_928}{\log_97}=\log_728$$
Почему так можно: если 7^t=28, то после логарифмирования по основанию 9 получаем t·log₉7=log₉28, откуда t равен данной дроби. Знаменатель ненулевой, поскольку 7 не равно 1.
Теперь в выражении складываются логарифмы с основанием 7. Заменим сумму логарифмом произведения положительных аргументов:
$$\log_728+\log_7\frac74=\log_7\left(28\cdot\frac74\right)$$
Вычислим произведение под логарифмом по действиям:
$$28:4=7$$
$$7\cdot7=49$$
Число 49 — квадрат основания 7, поэтому:
$$49=7^2$$
$$\log_749=2$$
Ответ: $2$.