Задание №7 ЕГЭ по математике: Вычисления и преобразования

В выражении есть угол, который вдвое больше одного из углов знаменателя. Это подсказывает формулу синуса двойного угла: она создаст в числителе те же множители, что стоят в знаменателе. $$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$ Проверим удвоение данного угла: $$2\cdot34^\circ=68^\circ$$ $$\sin68^\circ=2\sin34^\circ\cos34^\circ$$ Два угла знаменателя в сумме дают прямой угол: $$34^\circ+56^\circ=90^\circ$$ Используем формулу для дополняющих углов: $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$. $$\cos56^\circ=\\sin34^\circ$$ Подставим обе замены в исходную дробь. В числителе и знаменателе окажутся одинаковые синус и косинус: $$\frac{3\cdot2\sin34^\circ\cos34^\circ}{\sin34^\circ\cos34^\circ}$$ Угол $34^\circ$ острый: его синус и косинус положительны, а потому не равны нулю. Можно сократить оба этих множителя. $$3\cdot2=6$$ Ответ: $6$.

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{3\pi}{8}$. Используем тождество: $$2\sin t\cos t=\sin2t$$ Разделим обе части формулы на 2, чтобы выразить именно произведение: $$\sin t\cos t=\frac{\sin2t}{2}$$ Поэтому исходное выражение принимает вид: $$E=5\sqrt{2}\cdot\frac{\sin2t}{2}$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot3\pi}{8}=\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{3\pi}{4}=\pi-\frac\pi4$$ Угол лежит во второй четверти. По формуле приведения синус угла π−π/4 равен синусу π/4. $$\sin(\frac{3\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Подставим табличное значение. Множители 2 в знаменателях перемножаются: $$E=\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Квадратный корень, умноженный сам на себя, даёт подкоренное число. Поэтому: $$E=\frac{5\cdot2}{4}=\frac{10}{4}=2{,}5$$ Ответ: $2{,}5$.

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{15\pi}{8}$. Используем тождество: $$1-2\sin^2t=\cos2t$$ Вынесем общий множитель: он умножал каждое слагаемое. Затем заменим оставшуюся скобку по указанному тождеству: $$E=\sqrt{2}(1-2\sin^2t)=\sqrt{2}\cos2t$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot15\pi}{8}=\frac{30\pi}{8}=\frac{15\pi}{4}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{15\pi}{4}=4\pi-\frac\pi4$$ Добавление или вычитание полного оборота не меняет косинус, а косинус противоположных углов одинаков. Так получаем положительное табличное значение. $$\cos(\frac{15\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Подставим найденный косинус: $$E=\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Умножение одинаковых квадратных корней даёт подкоренное число: $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$$ Осталось выполнить обычные действия с числовыми коэффициентами: $$E=\frac{1\cdot2}{2}=\frac{2}{2}=1$$ Ответ: $1$.

Показатели степеней велики, но огромные числа считать не нужно: сначала объединим степени по правилам. При возведении степени в степень показатели перемножаются. $$9\cdot3=27$$ $$(64^9)^3=64^{27}$$ $$5\cdot8=40$$ $$(16^5)^8=16^{40}$$ Теперь запишем основания как степени двойки: $$64=2^6,\qquad16=2^4$$ Ещё раз применим правило степени степени: $$64^{27}=(2^6)^{27}=2^{6\cdot27}=2^{162}$$ $$16^{40}=(2^4)^{40}=2^{4\cdot40}=2^{160}$$ При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$\frac{2^{162}}{2^{160}}=2^{162-160}=2^2$$ $$2^2=2\cdot2=4$$ Ответ: $4$.

В выражении есть угол, который вдвое больше одного из углов знаменателя. Это подсказывает формулу синуса двойного угла: она создаст в числителе те же множители, что стоят в знаменателе. $$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$ Проверим удвоение данного угла: $$2\cdot77^\circ=154^\circ$$ $$\sin154^\circ=2\sin77^\circ\cos77^\circ$$ Два угла знаменателя в сумме дают прямой угол: $$77^\circ+13^\circ=90^\circ$$ Используем формулу для дополняющих углов: $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$. $$\sin13^\circ=\\cos77^\circ$$ Подставим обе замены в исходную дробь. В числителе и знаменателе окажутся одинаковые синус и косинус: $$\frac{4\cdot2\sin77^\circ\cos77^\circ}{\sin77^\circ\cos77^\circ}$$ Угол $77^\circ$ острый: его синус и косинус положительны, а потому не равны нулю. Можно сократить оба этих множителя. $$4\cdot2=8$$ Ответ: $8$.

У логарифмов одинаковое основание, а оба аргумента положительны. Объединим два логарифма по правилу суммы: $$\log_bu+\log_bv=\log_b(uv)$$ Подставляем именно аргументы логарифмов в правую часть правила: $$\log_{2}(6{,}4\cdot10)$$ Вычислим новый аргумент: $$6{,}4\cdot10=64$$ Логарифм — показатель степени: нужно понять, в какую степень возвести основание, чтобы получить аргумент. $$2^{6}=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=64$$ $$\log_{2}(64)=6$$ Ответ: $6$.

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{7\pi}{8}$. Используем тождество: $$2\sin t\cos t=\sin2t$$ Разделим обе части формулы на 2, чтобы выразить именно произведение: $$\sin t\cos t=\frac{\sin2t}{2}$$ Поэтому исходное выражение принимает вид: $$E=\sqrt{2}\cdot\frac{\sin2t}{2}$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot7\pi}{8}=\frac{14\pi}{8}=\frac{7\pi}{4}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{7\pi}{4}=2\pi-\frac\pi4$$ Это угол четвёртой четверти. Синус там отрицателен; после вычитания полного оборота используем нечётность синуса. $$\sin(\frac{7\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Подставим табличное значение. Множители 2 в знаменателях перемножаются: $$E=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Квадратный корень, умноженный сам на себя, даёт подкоренное число. Поэтому: $$E=\frac{-1\cdot2}{4}=\frac{-2}{4}=-0{,}5$$ Ответ: $-0{,}5$.

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{13\pi}{12}$. Используем тождество: $$2\cos^2t-1=\cos2t$$ Вынесем общий множитель: он умножал каждое слагаемое. Затем заменим оставшуюся скобку по указанному тождеству: $$E=\sqrt{3}(2\cos^2t-1)=\sqrt{3}\cos2t$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot13\pi}{12}=\frac{26\pi}{12}=\frac{13\pi}{6}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{13\pi}{6}=2\pi+\frac\pi6$$ Добавление или вычитание полного оборота не меняет косинус, а косинус противоположных углов одинаков. Так получаем положительное табличное значение. $$\cos(\frac{13\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Подставим найденный косинус: $$E=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Умножение одинаковых квадратных корней даёт подкоренное число: $$\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$$ Осталось выполнить обычные действия с числовыми коэффициентами: $$E=\frac{1\cdot3}{2}=\frac{3}{2}=1{,}5$$ Ответ: $1{,}5$.

Нужно упростить дробь. В знаменателе синус удвоенного угла, а в числителе — произведение синуса и косинуса исходного угла. Используем формулу: $$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$ Удвоим угол из числителя: $$2\cdot82^\circ=164^\circ$$ Заменим знаменатель по формуле двойного угла: $$\sin164^\circ=2\sin82^\circ\cos82^\circ$$ После замены получаем: $$\frac{8\sin82^\circ\cos82^\circ}{2\sin82^\circ\cos82^\circ}$$ Синус и косинус острого угла $82^\circ$ положительны. Поэтому сокращение на их произведение допустимо. Остаётся отношение числовых коэффициентов: $$\frac{8}{2}=4$$ Ответ: $4$.

Основания 5 и 25 связаны: 25 — квадрат 5. Это позволяет привести все степени к одному основанию: $$25=5^2$$ При возведении степени в степень показатели перемножаются: $$25^{0{,}97}=(5^2)^{0{,}97}=5^{2\cdot0{,}97}$$ $$2\cdot0{,}97=1{,}94$$ При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$5^{0{,}06}\cdot5^{1{,}94}=5^{0{,}06+1{,}94}$$ $$0{,}06+1{,}94=2$$ $$5^2=5\cdot5=25$$ Ответ: $25$.

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{7\pi}{8}$. Используем тождество: $$1-2\sin^2t=\cos2t$$ Вынесем общий множитель: он умножал каждое слагаемое. Затем заменим оставшуюся скобку по указанному тождеству: $$E=4\sqrt{2}(1-2\sin^2t)=4\sqrt{2}\cos2t$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot7\pi}{8}=\frac{14\pi}{8}=\frac{7\pi}{4}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{7\pi}{4}=2\pi-\frac\pi4$$ Добавление или вычитание полного оборота не меняет косинус, а косинус противоположных углов одинаков. Так получаем положительное табличное значение. $$\cos(\frac{7\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Подставим найденный косинус: $$E=4\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Умножение одинаковых квадратных корней даёт подкоренное число: $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$$ Осталось выполнить обычные действия с числовыми коэффициентами: $$E=\frac{4\cdot2}{2}=\frac{8}{2}=4$$ Ответ: $4$.

Нужно упростить дробь. В знаменателе синус удвоенного угла, а в числителе — произведение синуса и косинуса исходного угла. Используем формулу: $$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$ Удвоим угол из числителя: $$2\cdot64^\circ=128^\circ$$ Заменим знаменатель по формуле двойного угла: $$\sin128^\circ=2\sin64^\circ\cos64^\circ$$ После замены получаем: $$\frac{8\sin64^\circ\cos64^\circ}{2\sin64^\circ\cos64^\circ}$$ Синус и косинус острого угла $64^\circ$ положительны. Поэтому сокращение на их произведение допустимо. Остаётся отношение числовых коэффициентов: $$\frac{8}{2}=4$$ Ответ: $4$.

В выражении есть угол, который вдвое больше одного из углов знаменателя. Это подсказывает формулу синуса двойного угла: она создаст в числителе те же множители, что стоят в знаменателе. $$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$ Проверим удвоение данного угла: $$2\cdot68^\circ=136^\circ$$ $$\sin136^\circ=2\sin68^\circ\cos68^\circ$$ Два угла знаменателя в сумме дают прямой угол: $$68^\circ+22^\circ=90^\circ$$ Используем формулу для дополняющих углов: $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$. $$\sin22^\circ=\\cos68^\circ$$ Подставим обе замены в исходную дробь. В числителе и знаменателе окажутся одинаковые синус и косинус: $$\frac{2\cdot2\sin68^\circ\cos68^\circ}{\sin68^\circ\cos68^\circ}$$ Угол $68^\circ$ острый: его синус и косинус положительны, а потому не равны нулю. Можно сократить оба этих множителя. $$2\cdot2=4$$ Ответ: $4$.

У логарифмов одинаковое основание, а оба аргумента положительны. Объединим два логарифма по правилу разности: $$\log_bu-\log_bv=\log_b(\frac uv)$$ Подставляем именно аргументы логарифмов в правую часть правила: $$\log_{3}(162/2)$$ Вычислим новый аргумент: $$162/2=81$$ Логарифм — показатель степени: нужно понять, в какую степень возвести основание, чтобы получить аргумент. $$3^{4}=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$$ $$\log_{3}(81)=4$$ Ответ: $4$.

В основании 14 есть множители 2 и 7. Разложим его, чтобы объединить степени с одинаковыми основаниями: $$14=2\cdot7$$ Степень произведения равна произведению степеней множителей: $$14^{6{,}4}=2^{6{,}4}\cdot7^{6{,}4}$$ Подставим это в исходное выражение и сгруппируем степени двойки и семёрки: $$E=\frac{2^{6{,}4}}{2^{4{,}4}}\cdot7^{6{,}4}\cdot7^{-5{,}4}$$ При делении показатели вычитаются, при умножении — складываются: $$6{,}4-4{,}4=2$$ $$6{,}4+(-5{,}4)=6{,}4-5{,}4=1$$ $$E=2^2\cdot7^1$$ $$2^2=2\cdot2=4$$ $$4\cdot7=28$$ Ответ: $28$.

У всех корней одинаковый показатель. Все подкоренные числа положительны, а знаменатель не равен нулю. Поэтому произведение и частное корней можно объединить под одним корнем: $$\frac{\sqrt[4]{8}\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{24}}=\sqrt[4]{\frac{8\cdot48}{24}}$$ Вычислим подкоренное выражение. Сначала сократим деление, затем выполним умножение: $$8/24=\frac{1}{3}$$ $$\frac{1}{3}\cdot48=16$$ Нужно извлечь корень указанной степени: найти неотрицательное число, которое при возведении в эту степень даёт подкоренное число. $$2^{4}=2\cdot2\cdot2\cdot2=16$$ $$\sqrt[4]{16}=2$$ Ответ: $2$.

Основание логарифма само является корнем. Поэтому удобно обозначить значение логарифма буквой t и воспользоваться его определением: $$t=\log_{\sqrt[6]{13}}13$$ $$(\sqrt[6]{13})^t=13$$ Запишем корень дробной степенью. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $$(13^{1/6})^t=13^{t/6}$$ $$13^{t/6}=13^1$$ Основания одинаковы и больше 1, поэтому показатели равны: $$\frac t6=1$$ Умножим обе части на 6: $$t=1\cdot6=6$$ В исходном выражении логарифм ещё умножается на 6: $$6t=6\cdot6=36$$ Ответ: $36$.

Сначала найдём показатель степени числителя. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $$15\cdot5=75$$ $$(4^{15})^{5}=4^{75}$$ Теперь основания числителя и знаменателя одинаковы. При делении таких степеней показатели вычитаются: $$75-73=2$$ $$\frac{4^{75}}{4^{73}}=4^{2}$$ Оставшаяся степень небольшая; вычислим её как произведение: $$4^{2}=4\cdot4=16$$ Ответ: $16$.

В числителе и знаменателе логарифмы с одним основанием. Выразим 32 как степень аргумента знаменателя. Последовательно умножим двойку на себя: $$2^{2}=2\cdot2=4$$ $$2^{3}=4\cdot2=8$$ $$2^{4}=8\cdot2=16$$ $$2^{5}=16\cdot2=32$$ $$32=2^5$$ Используем правило: показатель степени аргумента можно вынести множителем перед логарифмом: $$\log_7(2^5)=5\log_72$$ Подставим это выражение в числитель: $$\frac{\log_732}{\log_72}=\frac{5\log_72}{\log_72}$$ Логарифм числа 2 не равен нулю: нулю равен логарифм только единицы. Поэтому можем сократить одинаковые множители: $$\frac{5\log_72}{\log_72}=5$$ Ответ: $5$.

Сначала приведём дробь из логарифмов к одному логарифму. По формуле перехода к новому основанию: $$\frac{\log_928}{\log_97}=\log_728$$ Почему так можно: если 7^t=28, то после логарифмирования по основанию 9 получаем t·log₉7=log₉28, откуда t равен данной дроби. Знаменатель ненулевой, поскольку 7 не равно 1. Теперь в выражении складываются логарифмы с основанием 7. Заменим сумму логарифмом произведения положительных аргументов: $$\log_728+\log_7\frac74=\log_7\left(28\cdot\frac74\right)$$ Вычислим произведение под логарифмом по действиям: $$28:4=7$$ $$7\cdot7=49$$ Число 49 — квадрат основания 7, поэтому: $$49=7^2$$ $$\log_749=2$$ Ответ: $2$.