Найдите значение выражения $\frac{4\sin 154^{\circ}}{\sin 77^{\circ}\cdot \sin 13^{\circ}}.$
Ответ: 8
Решение
В выражении есть угол, который вдвое больше одного из углов знаменателя. Это подсказывает формулу синуса двойного угла: она создаст в числителе те же множители, что стоят в знаменателе.
$$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$
Проверим удвоение данного угла:
$$2\cdot77^\circ=154^\circ$$
$$\sin154^\circ=2\sin77^\circ\cos77^\circ$$
Два угла знаменателя в сумме дают прямой угол:
$$77^\circ+13^\circ=90^\circ$$
Используем формулу для дополняющих углов: $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$.
$$\sin13^\circ=\\cos77^\circ$$
Подставим обе замены в исходную дробь. В числителе и знаменателе окажутся одинаковые синус и косинус:
$$\frac{4\cdot2\sin77^\circ\cos77^\circ}{\sin77^\circ\cos77^\circ}$$
Угол $77^\circ$ острый: его синус и косинус положительны, а потому не равны нулю. Можно сократить оба этих множителя.
$$4\cdot2=8$$
Ответ: $8$.