Найдите значение выражения $\frac{8\sin 64^{\circ}\cdot \cos 64^{\circ}}{\sin 128^{\circ}}$.
Ответ: $4$.
Решение
Нужно упростить дробь. В знаменателе синус удвоенного угла, а в числителе — произведение синуса и косинуса исходного угла. Используем формулу:
$$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$
Удвоим угол из числителя:
$$2\cdot64^\circ=128^\circ$$
Заменим знаменатель по формуле двойного угла:
$$\sin128^\circ=2\sin64^\circ\cos64^\circ$$
После замены получаем:
$$\frac{8\sin64^\circ\cos64^\circ}{2\sin64^\circ\cos64^\circ}$$
Синус и косинус острого угла $64^\circ$ положительны. Поэтому сокращение на их произведение допустимо. Остаётся отношение числовых коэффициентов:
$$\frac{8}{2}=4$$
Ответ: $4$.