Найдите значение выражения $\frac{14\sin 51^{\circ}\cdot \cos 51^{\circ}}{\sin 102^{\circ}}.$
Ответ: $7$.
Решение
Нужно упростить дробь. В знаменателе синус удвоенного угла, а в числителе — произведение синуса и косинуса исходного угла. Используем формулу:
$$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$
Удвоим угол из числителя:
$$2\cdot51^\circ=102^\circ$$
Заменим знаменатель по формуле двойного угла:
$$\sin102^\circ=2\sin51^\circ\cos51^\circ$$
После замены получаем:
$$\frac{14\sin51^\circ\cos51^\circ}{2\sin51^\circ\cos51^\circ}$$
Синус и косинус острого угла $51^\circ$ положительны. Поэтому сокращение на их произведение допустимо. Остаётся отношение числовых коэффициентов:
$$\frac{14}{2}=7$$
Ответ: $7$.