Найдите значение выражения $\frac{10\sin 72^{\circ}\cdot \cos 72^{\circ}}{\sin 144^{\circ}}.$
Ответ: $5$.
Решение
Нужно упростить дробь. В знаменателе синус удвоенного угла, а в числителе — произведение синуса и косинуса исходного угла. Используем формулу:
$$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$
Удвоим угол из числителя:
$$2\cdot72^\circ=144^\circ$$
Заменим знаменатель по формуле двойного угла:
$$\sin144^\circ=2\sin72^\circ\cos72^\circ$$
После замены получаем:
$$\frac{10\sin72^\circ\cos72^\circ}{2\sin72^\circ\cos72^\circ}$$
Синус и косинус острого угла $72^\circ$ положительны. Поэтому сокращение на их произведение допустимо. Остаётся отношение числовых коэффициентов:
$$\frac{10}{2}=5$$
Ответ: $5$.