Найдите $\operatorname{tg}\alpha$, если $\cos \alpha =- \frac{\sqrt{26}}{26}$ и $\alpha \in (\frac{\pi }{2}; \pi )$.
Ответ: $-5$.
Решение
Известен косинус угла, а найти нужно тангенс. Сначала получим квадрат тангенса из основного тригонометрического тождества:
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$
Данный косинус не равен нулю. Разделим каждое слагаемое на его квадрат:
$$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac1{\cos^2\alpha}$$
По определению тангенс равен синусу, делённому на косинус. Поэтому:
$$\tan^2\alpha+1=\frac1{\cos^2\alpha}$$
$$\tan^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}-1$$
Теперь вычислим квадрат данного косинуса. При возведении дроби в квадрат отдельно возводятся числитель и знаменатель:
$$\cos^2\alpha=\frac{(-1)^2\cdot(\sqrt{26})^2}{26^2}=\frac{1\cdot26}{676}=\frac{1}{26}$$
Подставляем в формулу; обратная величина дроби получается перестановкой её числителя и знаменателя:
$$\tan^2\alpha=\frac{26}{1}-1=\frac{26-1}{1}=25$$
Квадрат числа не определяет его знак. Возможны два значения:
$$\tan\alpha=\pm\sqrt{25}=\pm5$$
По условию угол во второй четверти: синус положителен, косинус отрицателен. Их отношение отрицательно, поэтому выбираем отрицательное значение.
$$\tan\alpha=-5$$
Ответ: $-5$.