Найдите значение выражения $\frac{4\sin 41^{\circ}\cdot \cos 41^{\circ}}{\sin 82^{\circ}}.$
Ответ: $2$.
Решение
Нужно упростить дробь. В знаменателе синус удвоенного угла, а в числителе — произведение синуса и косинуса исходного угла. Используем формулу:
$$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$
Удвоим угол из числителя:
$$2\cdot41^\circ=82^\circ$$
Заменим знаменатель по формуле двойного угла:
$$\sin82^\circ=2\sin41^\circ\cos41^\circ$$
После замены получаем:
$$\frac{4\sin41^\circ\cos41^\circ}{2\sin41^\circ\cos41^\circ}$$
Синус и косинус острого угла $41^\circ$ положительны. Поэтому сокращение на их произведение допустимо. Остаётся отношение числовых коэффициентов:
$$\frac{4}{2}=2$$
Ответ: $2$.