ФИПИ A68E99 — Тригонометрические выражения

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{9\pi}{8}$. Используем тождество: $$\cos^2t-\sin^2t=\cos2t$$ Вынесем общий множитель: он умножал каждое слагаемое. Затем заменим оставшуюся скобку по указанному тождеству: $$E=3\sqrt{2}(\cos^2t-\sin^2t)=3\sqrt{2}\cos2t$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot9\pi}{8}=\frac{18\pi}{8}=\frac{9\pi}{4}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{9\pi}{4}=2\pi+\frac\pi4$$ Добавление или вычитание полного оборота не меняет косинус, а косинус противоположных углов одинаков. Так получаем положительное табличное значение. $$\cos(\frac{9\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Подставим найденный косинус: $$E=3\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Умножение одинаковых квадратных корней даёт подкоренное число: $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$$ Осталось выполнить обычные действия с числовыми коэффициентами: $$E=\frac{3\cdot2}{2}=\frac{6}{2}=3$$ Ответ: $3$.