Тригонометрические выражения — задание №7 ЕГЭ по математике

В выражении есть угол, который вдвое больше одного из углов знаменателя. Это подсказывает формулу синуса двойного угла: она создаст в числителе те же множители, что стоят в знаменателе. $$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$ Проверим удвоение данного угла: $$2\cdot34^\circ=68^\circ$$ $$\sin68^\circ=2\sin34^\circ\cos34^\circ$$ Два угла знаменателя в сумме дают прямой угол: $$34^\circ+56^\circ=90^\circ$$ Используем формулу для дополняющих углов: $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$. $$\cos56^\circ=\\sin34^\circ$$ Подставим обе замены в исходную дробь. В числителе и знаменателе окажутся одинаковые синус и косинус: $$\frac{3\cdot2\sin34^\circ\cos34^\circ}{\sin34^\circ\cos34^\circ}$$ Угол $34^\circ$ острый: его синус и косинус положительны, а потому не равны нулю. Можно сократить оба этих множителя. $$3\cdot2=6$$ Ответ: $6$.

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{3\pi}{8}$. Используем тождество: $$2\sin t\cos t=\sin2t$$ Разделим обе части формулы на 2, чтобы выразить именно произведение: $$\sin t\cos t=\frac{\sin2t}{2}$$ Поэтому исходное выражение принимает вид: $$E=5\sqrt{2}\cdot\frac{\sin2t}{2}$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot3\pi}{8}=\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{3\pi}{4}=\pi-\frac\pi4$$ Угол лежит во второй четверти. По формуле приведения синус угла π−π/4 равен синусу π/4. $$\sin(\frac{3\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Подставим табличное значение. Множители 2 в знаменателях перемножаются: $$E=\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Квадратный корень, умноженный сам на себя, даёт подкоренное число. Поэтому: $$E=\frac{5\cdot2}{4}=\frac{10}{4}=2{,}5$$ Ответ: $2{,}5$.

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{15\pi}{8}$. Используем тождество: $$1-2\sin^2t=\cos2t$$ Вынесем общий множитель: он умножал каждое слагаемое. Затем заменим оставшуюся скобку по указанному тождеству: $$E=\sqrt{2}(1-2\sin^2t)=\sqrt{2}\cos2t$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot15\pi}{8}=\frac{30\pi}{8}=\frac{15\pi}{4}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{15\pi}{4}=4\pi-\frac\pi4$$ Добавление или вычитание полного оборота не меняет косинус, а косинус противоположных углов одинаков. Так получаем положительное табличное значение. $$\cos(\frac{15\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Подставим найденный косинус: $$E=\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Умножение одинаковых квадратных корней даёт подкоренное число: $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$$ Осталось выполнить обычные действия с числовыми коэффициентами: $$E=\frac{1\cdot2}{2}=\frac{2}{2}=1$$ Ответ: $1$.

В выражении есть угол, который вдвое больше одного из углов знаменателя. Это подсказывает формулу синуса двойного угла: она создаст в числителе те же множители, что стоят в знаменателе. $$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$ Проверим удвоение данного угла: $$2\cdot77^\circ=154^\circ$$ $$\sin154^\circ=2\sin77^\circ\cos77^\circ$$ Два угла знаменателя в сумме дают прямой угол: $$77^\circ+13^\circ=90^\circ$$ Используем формулу для дополняющих углов: $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$. $$\sin13^\circ=\\cos77^\circ$$ Подставим обе замены в исходную дробь. В числителе и знаменателе окажутся одинаковые синус и косинус: $$\frac{4\cdot2\sin77^\circ\cos77^\circ}{\sin77^\circ\cos77^\circ}$$ Угол $77^\circ$ острый: его синус и косинус положительны, а потому не равны нулю. Можно сократить оба этих множителя. $$4\cdot2=8$$ Ответ: $8$.

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{7\pi}{8}$. Используем тождество: $$2\sin t\cos t=\sin2t$$ Разделим обе части формулы на 2, чтобы выразить именно произведение: $$\sin t\cos t=\frac{\sin2t}{2}$$ Поэтому исходное выражение принимает вид: $$E=\sqrt{2}\cdot\frac{\sin2t}{2}$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot7\pi}{8}=\frac{14\pi}{8}=\frac{7\pi}{4}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{7\pi}{4}=2\pi-\frac\pi4$$ Это угол четвёртой четверти. Синус там отрицателен; после вычитания полного оборота используем нечётность синуса. $$\sin(\frac{7\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Подставим табличное значение. Множители 2 в знаменателях перемножаются: $$E=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Квадратный корень, умноженный сам на себя, даёт подкоренное число. Поэтому: $$E=\frac{-1\cdot2}{4}=\frac{-2}{4}=-0{,}5$$ Ответ: $-0{,}5$.

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{13\pi}{12}$. Используем тождество: $$2\cos^2t-1=\cos2t$$ Вынесем общий множитель: он умножал каждое слагаемое. Затем заменим оставшуюся скобку по указанному тождеству: $$E=\sqrt{3}(2\cos^2t-1)=\sqrt{3}\cos2t$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot13\pi}{12}=\frac{26\pi}{12}=\frac{13\pi}{6}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{13\pi}{6}=2\pi+\frac\pi6$$ Добавление или вычитание полного оборота не меняет косинус, а косинус противоположных углов одинаков. Так получаем положительное табличное значение. $$\cos(\frac{13\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Подставим найденный косинус: $$E=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Умножение одинаковых квадратных корней даёт подкоренное число: $$\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$$ Осталось выполнить обычные действия с числовыми коэффициентами: $$E=\frac{1\cdot3}{2}=\frac{3}{2}=1{,}5$$ Ответ: $1{,}5$.

Нужно упростить дробь. В знаменателе синус удвоенного угла, а в числителе — произведение синуса и косинуса исходного угла. Используем формулу: $$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$ Удвоим угол из числителя: $$2\cdot82^\circ=164^\circ$$ Заменим знаменатель по формуле двойного угла: $$\sin164^\circ=2\sin82^\circ\cos82^\circ$$ После замены получаем: $$\frac{8\sin82^\circ\cos82^\circ}{2\sin82^\circ\cos82^\circ}$$ Синус и косинус острого угла $82^\circ$ положительны. Поэтому сокращение на их произведение допустимо. Остаётся отношение числовых коэффициентов: $$\frac{8}{2}=4$$ Ответ: $4$.

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{7\pi}{8}$. Используем тождество: $$1-2\sin^2t=\cos2t$$ Вынесем общий множитель: он умножал каждое слагаемое. Затем заменим оставшуюся скобку по указанному тождеству: $$E=4\sqrt{2}(1-2\sin^2t)=4\sqrt{2}\cos2t$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot7\pi}{8}=\frac{14\pi}{8}=\frac{7\pi}{4}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{7\pi}{4}=2\pi-\frac\pi4$$ Добавление или вычитание полного оборота не меняет косинус, а косинус противоположных углов одинаков. Так получаем положительное табличное значение. $$\cos(\frac{7\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Подставим найденный косинус: $$E=4\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Умножение одинаковых квадратных корней даёт подкоренное число: $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$$ Осталось выполнить обычные действия с числовыми коэффициентами: $$E=\frac{4\cdot2}{2}=\frac{8}{2}=4$$ Ответ: $4$.

Нужно упростить дробь. В знаменателе синус удвоенного угла, а в числителе — произведение синуса и косинуса исходного угла. Используем формулу: $$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$ Удвоим угол из числителя: $$2\cdot64^\circ=128^\circ$$ Заменим знаменатель по формуле двойного угла: $$\sin128^\circ=2\sin64^\circ\cos64^\circ$$ После замены получаем: $$\frac{8\sin64^\circ\cos64^\circ}{2\sin64^\circ\cos64^\circ}$$ Синус и косинус острого угла $64^\circ$ положительны. Поэтому сокращение на их произведение допустимо. Остаётся отношение числовых коэффициентов: $$\frac{8}{2}=4$$ Ответ: $4$.

В выражении есть угол, который вдвое больше одного из углов знаменателя. Это подсказывает формулу синуса двойного угла: она создаст в числителе те же множители, что стоят в знаменателе. $$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$ Проверим удвоение данного угла: $$2\cdot68^\circ=136^\circ$$ $$\sin136^\circ=2\sin68^\circ\cos68^\circ$$ Два угла знаменателя в сумме дают прямой угол: $$68^\circ+22^\circ=90^\circ$$ Используем формулу для дополняющих углов: $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$. $$\sin22^\circ=\\cos68^\circ$$ Подставим обе замены в исходную дробь. В числителе и знаменателе окажутся одинаковые синус и косинус: $$\frac{2\cdot2\sin68^\circ\cos68^\circ}{\sin68^\circ\cos68^\circ}$$ Угол $68^\circ$ острый: его синус и косинус положительны, а потому не равны нулю. Можно сократить оба этих множителя. $$2\cdot2=4$$ Ответ: $4$.

Требуется косинус двойного угла, умноженный на коэффициент. Сам угол искать не нужно: известен синус этого угла, и можно выбрать формулу только через известную величину. $$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$$ Сначала возведём данное значение в квадрат. Это произведение числа на себя; два отрицательных множителя дают положительное число: $$(0{,}6)^2=(0{,}6)\cdot(0{,}6)=0{,}36$$ Умножим квадрат на 2: $$2\cdot0{,}36=0{,}72$$ Вычислим косинус двойного угла: $$\cos2\alpha=1-0{,}72=0{,}28$$ В вопросе есть ещё числовой коэффициент, поэтому умножаем на него: $$E=3\cdot(0{,}28)=0{,}84$$ Ответ: $0{,}84$.

Требуется косинус двойного угла, умноженный на коэффициент. Сам угол искать не нужно: известен косинус этого угла, и можно выбрать формулу только через известную величину. $$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$$ Сначала возведём данное значение в квадрат. Это произведение числа на себя; два отрицательных множителя дают положительное число: $$(-0{,}8)^2=(-0{,}8)\cdot(-0{,}8)=0{,}64$$ Умножим квадрат на 2: $$2\cdot0{,}64=1{,}28$$ Вычислим косинус двойного угла: $$\cos2\alpha=1{,}28-1=0{,}28$$ В вопросе есть ещё числовой коэффициент, поэтому умножаем на него: $$E=3\cdot(0{,}28)=0{,}84$$ Ответ: $0{,}84$.

Нужно упростить дробь. В знаменателе синус удвоенного угла, а в числителе — произведение синуса и косинуса исходного угла. Используем формулу: $$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$ Удвоим угол из числителя: $$2\cdot51^\circ=102^\circ$$ Заменим знаменатель по формуле двойного угла: $$\sin102^\circ=2\sin51^\circ\cos51^\circ$$ После замены получаем: $$\frac{14\sin51^\circ\cos51^\circ}{2\sin51^\circ\cos51^\circ}$$ Синус и косинус острого угла $51^\circ$ положительны. Поэтому сокращение на их произведение допустимо. Остаётся отношение числовых коэффициентов: $$\frac{14}{2}=7$$ Ответ: $7$.

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{13\pi}{12}$. Используем тождество: $$1-2\sin^2t=\cos2t$$ Вынесем общий множитель: он умножал каждое слагаемое. Затем заменим оставшуюся скобку по указанному тождеству: $$E=3\sqrt{3}(1-2\sin^2t)=3\sqrt{3}\cos2t$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot13\pi}{12}=\frac{26\pi}{12}=\frac{13\pi}{6}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{13\pi}{6}=2\pi+\frac\pi6$$ Добавление или вычитание полного оборота не меняет косинус, а косинус противоположных углов одинаков. Так получаем положительное табличное значение. $$\cos(\frac{13\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Подставим найденный косинус: $$E=3\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Умножение одинаковых квадратных корней даёт подкоренное число: $$\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$$ Осталось выполнить обычные действия с числовыми коэффициентами: $$E=\frac{3\cdot3}{2}=\frac{9}{2}=4{,}5$$ Ответ: $4{,}5$.

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{23\pi}{12}$. Используем тождество: $$\cos^2t-\sin^2t=\cos2t$$ Вынесем общий множитель: он умножал каждое слагаемое. Затем заменим оставшуюся скобку по указанному тождеству: $$E=4\sqrt{3}(\cos^2t-\sin^2t)=4\sqrt{3}\cos2t$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot23\pi}{12}=\frac{46\pi}{12}=\frac{23\pi}{6}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{23\pi}{6}=4\pi-\frac\pi6$$ Добавление или вычитание полного оборота не меняет косинус, а косинус противоположных углов одинаков. Так получаем положительное табличное значение. $$\cos(\frac{23\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Подставим найденный косинус: $$E=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Умножение одинаковых квадратных корней даёт подкоренное число: $$\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$$ Осталось выполнить обычные действия с числовыми коэффициентами: $$E=\frac{4\cdot3}{2}=\frac{12}{2}=6$$ Ответ: $6$.

В выражении есть угол, который вдвое больше одного из углов знаменателя. Это подсказывает формулу синуса двойного угла: она создаст в числителе те же множители, что стоят в знаменателе. $$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$ Проверим удвоение данного угла: $$2\cdot82^\circ=164^\circ$$ $$\sin164^\circ=2\sin82^\circ\cos82^\circ$$ Два угла знаменателя в сумме дают прямой угол: $$82^\circ+8^\circ=90^\circ$$ Используем формулу для дополняющих углов: $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$. $$\sin8^\circ=\\cos82^\circ$$ Подставим обе замены в исходную дробь. В числителе и знаменателе окажутся одинаковые синус и косинус: $$\frac{3\cdot2\sin82^\circ\cos82^\circ}{\sin82^\circ\cos82^\circ}$$ Угол $82^\circ$ острый: его синус и косинус положительны, а потому не равны нулю. Можно сократить оба этих множителя. $$3\cdot2=6$$ Ответ: $6$.

Нужно упростить дробь. В знаменателе синус удвоенного угла, а в числителе — произведение синуса и косинуса исходного угла. Используем формулу: $$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$ Удвоим угол из числителя: $$2\cdot72^\circ=144^\circ$$ Заменим знаменатель по формуле двойного угла: $$\sin144^\circ=2\sin72^\circ\cos72^\circ$$ После замены получаем: $$\frac{10\sin72^\circ\cos72^\circ}{2\sin72^\circ\cos72^\circ}$$ Синус и косинус острого угла $72^\circ$ положительны. Поэтому сокращение на их произведение допустимо. Остаётся отношение числовых коэффициентов: $$\frac{10}{2}=5$$ Ответ: $5$.

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{11\pi}{12}$. Используем тождество: $$2\cos^2t-1=\cos2t$$ Вынесем общий множитель: он умножал каждое слагаемое. Затем заменим оставшуюся скобку по указанному тождеству: $$E=3\sqrt{3}(2\cos^2t-1)=3\sqrt{3}\cos2t$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot11\pi}{12}=\frac{22\pi}{12}=\frac{11\pi}{6}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{11\pi}{6}=2\pi-\frac\pi6$$ Добавление или вычитание полного оборота не меняет косинус, а косинус противоположных углов одинаков. Так получаем положительное табличное значение. $$\cos(\frac{11\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Подставим найденный косинус: $$E=3\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Умножение одинаковых квадратных корней даёт подкоренное число: $$\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$$ Осталось выполнить обычные действия с числовыми коэффициентами: $$E=\frac{3\cdot3}{2}=\frac{9}{2}=4{,}5$$ Ответ: $4{,}5$.

Известен косинус угла, а найти нужно тангенс. Сначала получим квадрат тангенса из основного тригонометрического тождества: $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ Данный косинус не равен нулю. Разделим каждое слагаемое на его квадрат: $$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac1{\cos^2\alpha}$$ По определению тангенс равен синусу, делённому на косинус. Поэтому: $$\tan^2\alpha+1=\frac1{\cos^2\alpha}$$ $$\tan^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}-1$$ Теперь вычислим квадрат данного косинуса. При возведении дроби в квадрат отдельно возводятся числитель и знаменатель: $$\cos^2\alpha=\frac{(-1)^2\cdot(\sqrt{26})^2}{26^2}=\frac{1\cdot26}{676}=\frac{1}{26}$$ Подставляем в формулу; обратная величина дроби получается перестановкой её числителя и знаменателя: $$\tan^2\alpha=\frac{26}{1}-1=\frac{26-1}{1}=25$$ Квадрат числа не определяет его знак. Возможны два значения: $$\tan\alpha=\pm\sqrt{25}=\pm5$$ По условию угол во второй четверти: синус положителен, косинус отрицателен. Их отношение отрицательно, поэтому выбираем отрицательное значение. $$\tan\alpha=-5$$ Ответ: $-5$.

Нужно упростить дробь. В знаменателе синус удвоенного угла, а в числителе — произведение синуса и косинуса исходного угла. Используем формулу: $$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$ Удвоим угол из числителя: $$2\cdot41^\circ=82^\circ$$ Заменим знаменатель по формуле двойного угла: $$\sin82^\circ=2\sin41^\circ\cos41^\circ$$ После замены получаем: $$\frac{4\sin41^\circ\cos41^\circ}{2\sin41^\circ\cos41^\circ}$$ Синус и косинус острого угла $41^\circ$ положительны. Поэтому сокращение на их произведение допустимо. Остаётся отношение числовых коэффициентов: $$\frac{4}{2}=2$$ Ответ: $2$.