Найдите значение выражения $\frac{8\sin 82^{\circ}\cdot \cos 82^{\circ}}{\sin 164^{\circ}}.$
Ответ: 4
Решение
Нужно упростить дробь. В знаменателе синус удвоенного угла, а в числителе — произведение синуса и косинуса исходного угла. Используем формулу:
$$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$
Удвоим угол из числителя:
$$2\cdot82^\circ=164^\circ$$
Заменим знаменатель по формуле двойного угла:
$$\sin164^\circ=2\sin82^\circ\cos82^\circ$$
После замены получаем:
$$\frac{8\sin82^\circ\cos82^\circ}{2\sin82^\circ\cos82^\circ}$$
Синус и косинус острого угла $82^\circ$ положительны. Поэтому сокращение на их произведение допустимо. Остаётся отношение числовых коэффициентов:
$$\frac{8}{2}=4$$
Ответ: $4$.