Найдите значение выражения $\frac{2\sin 136^{\circ}}{\sin 68^{\circ}\cdot \sin 22^{\circ}}$.
Ответ: $4$.
Решение
В выражении есть угол, который вдвое больше одного из углов знаменателя. Это подсказывает формулу синуса двойного угла: она создаст в числителе те же множители, что стоят в знаменателе.
$$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$
Проверим удвоение данного угла:
$$2\cdot68^\circ=136^\circ$$
$$\sin136^\circ=2\sin68^\circ\cos68^\circ$$
Два угла знаменателя в сумме дают прямой угол:
$$68^\circ+22^\circ=90^\circ$$
Используем формулу для дополняющих углов: $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$.
$$\sin22^\circ=\\cos68^\circ$$
Подставим обе замены в исходную дробь. В числителе и знаменателе окажутся одинаковые синус и косинус:
$$\frac{2\cdot2\sin68^\circ\cos68^\circ}{\sin68^\circ\cos68^\circ}$$
Угол $68^\circ$ острый: его синус и косинус положительны, а потому не равны нулю. Можно сократить оба этих множителя.
$$2\cdot2=4$$
Ответ: $4$.