Найдите значение выражения $\frac{3\sin 164^{\circ}}{\sin 82^{\circ}\cdot \sin 8^{\circ}}.$
Ответ: $6$.
Решение
В выражении есть угол, который вдвое больше одного из углов знаменателя. Это подсказывает формулу синуса двойного угла: она создаст в числителе те же множители, что стоят в знаменателе.
$$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$
Проверим удвоение данного угла:
$$2\cdot82^\circ=164^\circ$$
$$\sin164^\circ=2\sin82^\circ\cos82^\circ$$
Два угла знаменателя в сумме дают прямой угол:
$$82^\circ+8^\circ=90^\circ$$
Используем формулу для дополняющих углов: $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$.
$$\sin8^\circ=\\cos82^\circ$$
Подставим обе замены в исходную дробь. В числителе и знаменателе окажутся одинаковые синус и косинус:
$$\frac{3\cdot2\sin82^\circ\cos82^\circ}{\sin82^\circ\cos82^\circ}$$
Угол $82^\circ$ острый: его синус и косинус положительны, а потому не равны нулю. Можно сократить оба этих множителя.
$$3\cdot2=6$$
Ответ: $6$.