ФИПИ 818625 — Тригонометрические выражения

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{23\pi}{12}$. Используем тождество: $$\cos^2t-\sin^2t=\cos2t$$ Вынесем общий множитель: он умножал каждое слагаемое. Затем заменим оставшуюся скобку по указанному тождеству: $$E=4\sqrt{3}(\cos^2t-\sin^2t)=4\sqrt{3}\cos2t$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot23\pi}{12}=\frac{46\pi}{12}=\frac{23\pi}{6}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{23\pi}{6}=4\pi-\frac\pi6$$ Добавление или вычитание полного оборота не меняет косинус, а косинус противоположных углов одинаков. Так получаем положительное табличное значение. $$\cos(\frac{23\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Подставим найденный косинус: $$E=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Умножение одинаковых квадратных корней даёт подкоренное число: $$\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$$ Осталось выполнить обычные действия с числовыми коэффициентами: $$E=\frac{4\cdot3}{2}=\frac{12}{2}=6$$ Ответ: $6$.