ФИПИ 23C8BB — Тригонометрические выражения

Нужно получить числовое значение, хотя исходный угол не является простым табличным. В выражении есть комбинация синуса и косинуса, которую можно заменить функцией двойного угла. Для удобства записи обозначим угол $t=\frac{7\pi}{8}$. Используем тождество: $$1-2\sin^2t=\cos2t$$ Вынесем общий множитель: он умножал каждое слагаемое. Затем заменим оставшуюся скобку по указанному тождеству: $$E=4\sqrt{2}(1-2\sin^2t)=4\sqrt{2}\cos2t$$ Посчитаем удвоенный угол: множитель 2 умножается на числитель дроби. $$2t=\frac{2\cdot7\pi}{8}=\frac{14\pi}{8}=\frac{7\pi}{4}$$ Представим угол через полный оборот или через угол, связанный с табличным: $$\frac{7\pi}{4}=2\pi-\frac\pi4$$ Добавление или вычитание полного оборота не меняет косинус, а косинус противоположных углов одинаков. Так получаем положительное табличное значение. $$\cos(\frac{7\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Подставим найденный косинус: $$E=4\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Умножение одинаковых квадратных корней даёт подкоренное число: $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$$ Осталось выполнить обычные действия с числовыми коэффициентами: $$E=\frac{4\cdot2}{2}=\frac{8}{2}=4$$ Ответ: $4$.